1-1-1. 거듭제곱과 거듭제곱근

				미래앤 수학1

지수함수 로그함수

[생각 열기]

컴퓨터의 정보량을 나타내는 단위인 메비바이트 ([eqn: rmMiB]), 기비바이트 ([eqn: rmGiB]), 테비바이트([eqn: rmTiB]) 사이에 다음과 같은 관계가 있다.

[정답] ➊ [eqn: 2^10`]    ➋  [eqn: 10,~10,~10,~20`]

[eqn: rm1``GiB=1024``MiB], [eqn: rm1``TiB=1024``GiB]

➊ [eqn: 1024]를 [eqn: 2]의 거듭제곱으로 나타내어 보자.

➋  다음은 [eqn: rm1``TiB]가 몇 [eqn: rmMiB]인지 구하는 과정이다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: rm1``TiB=2^□ `GiB=(2^□ times2^□ ) MiB=2^□ `MiB]

다음 식을 간단히 하시오. (단, [eqn: a!=0], [eqn: b!=0])

[정답] (1) [eqn: a^3 b^7`]      (2) [eqn: a^6 b^3 `]      (3) [eqn: a^7 over b^3 `]

(1) [eqn: ab^3 times a^2 b^4]	(2) [eqn: (a^2 b)^3]	(3) [eqn: a^4 b^3 div left( b^2 overa right)^3]

다음 거듭제곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -1]      (2) [eqn: -2], [eqn: 2]

(1) [eqn: -1]의 세제곱근을 [eqn: x]라 하면 [eqn: x^3 =-1]이므로

[eqn: x^3 +1=0], [eqn: (x+1)(x^2 `-x+1)=0]

이때 [eqn: x^2 `-x+1=0]은 실근을 갖지 않으므로 [eqn: x+1=0]에서 [eqn: x=-1]

따라서 [eqn: -1]의 세제곱근 중에서 실수인 것은 [eqn: -1]이다.

(2) [eqn: 16]의 네제곱근을 [eqn: x]라 하면 [eqn: x^4 =16]이므로

[eqn: x^4 -16=0], [eqn: (x-2)(x+2)(x^2 `+4)=0]

이때 [eqn: x^2 `+4=0]은 실근을 갖지 않으므로 [eqn: (x-2)(x+2)=0]에서

[eqn: x=+-2]

따라서 [eqn: 16]의 네제곱근 중에서 실수인 것은 [eqn: -2], [eqn: 2]이다.

(1) [eqn: -1]의 세제곱근	(2) [eqn: 16]의 네제곱근

다음 거듭제곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -2`]      (2) [eqn: -root7 ,~root7 `]

(1) [eqn: -8]의 세제곱근	(2) [eqn: 49]의 네제곱근

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2]     (2) [eqn: 3`]     (3) [eqn: -2]     (4) [eqn: - 1over2 `]

(1) [eqn: root3 of8]	(2) [eqn: root4 of81]

(3) [eqn: root5 of-32]	(4) [eqn: -root4 of{ 1over16}]

전해 내려오는 이야기에 따르면 고대 그리스에서는 전염병을 퇴치하기 위하여, 아폴론 신전에 있는 정육면체 모양의 제단을 처음 제단의 부피의 [eqn: 2]배인 정육면체 모양으로 새로 만들어야 했다고 한다. 처음 제단의 부피가 [eqn: rm8``m^3]라 할 때, 새로 만들어야 하는 제단의 한 모서리의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: root {3} of {16}`rm m`]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: m], [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상인 자연수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

[정답]

(1) 지수법칙에 의하여

[eqn: left ({ rootn ofa } over{rootn ofb} right) ^n = {left ({ rootn ofa } right)^n }over {left ({ rootn of b } right)^n } = a over b `]

이때 [eqn: root {n} of {a} >0,~root {n} of {b} >0 ``]에서 [eqn: { rootn ofa } over{rootn ofb} >0`]이다.

따라서 [eqn: { rootn ofa } over{rootn ofb} `]는 [eqn: a over b`]의 양의 [eqn: n`]제곱근이므로

[eqn: { rootn ofa } over{rootn ofb} = rootn of{a overb]

(2) 지수법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( root {m} of {root {n} of {a}} RIGHT ) ^{mn} = LEFT { LEFT ( root {m} of {root {n} of {a}} RIGHT ) ^{m} RIGHT } ^{n} = LEFT ( root {n} of {a} ) RIGHT)^n =a`]

이때 [eqn: root {m} of {root {n} of {a}} >0`]에서 [eqn: root {m} of {root {n} of {a}} `]는 [eqn: a`]의 양의 [eqn: mn`]제곱근이므로

[eqn: rootm of{ rootn ofa} = rootmn ofa]

(1) [eqn: { rootn ofa } over{rootn ofb} = rootn of{a overb]	(2) [eqn: rootm of{ rootn ofa} = rootmn ofa]

다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: 5`]     (2) [eqn: 4`]     (3) [eqn: 7`]     (4) [eqn: 2]

(1) [eqn: root 4 of125 times root4 of5]	(2) [eqn: {root3 of128} over{root3 of2}]

(3) [eqn: (root6 of49 )^3]	(4) [eqn: root5 of{root1024]

다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: -3 root {3} of {2} `]  (2) [eqn: -6 root {4} of {2} `]  (3) [eqn: 3 root {4} of {3} `]  (4) [eqn: 10 root {3} of {11} `]

(1) [eqn: root3 of54 -6 root3 of2]	(2) [eqn: 2 root4 of32 + root4 of162 - root4 of2]

(3) [eqn: root3 of{root 4 of27} +2 root4 of3]	(4) [eqn: ( root3 of11 )^4 - root root3 of121]

다음 계산에서 잘못된 부분을 찾아 그 이유를 설명하고 바르게 고치시오.

[정답] [eqn: 2`]

[eqn: (-6)^4 = 6^4 `]이고, [eqn: root {n} of {a}`]에서 [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: root {n} of {a}`]의 부호는 [eqn: a`]의 부호와 일치하므로

[eqn: root {4} of {(-6) ^{4}} + root {3} of {-2 ^{6}} = root {4} of {6^4} -2^2 =6-4=2]

[eqn: root4 of(-6)^4 + root3 of-2^6 =-6+4=-2]

[생각 넓히기]

오른쪽 그림과 같은 컴퓨터 계산기 프로그램에서 , , 를 차례대로 누르면 [eqn: root4 of2]의 어림한 값을 구할 수 있다.

[정답] ➊ [eqn: root {4} of {2} = root root2 `]이기 때문이다.   ➋ [eqn: 4`]번

➊ [eqn: root4 of2]의 어림한 값을 구할 때, 를

두 번 누르는 이유를 말해 보자.

➋ [eqn: root16 of2]의 어림한 값을 구하려면 를

누른 후 를 몇 번 눌러야 하는지

말해 보자.

1-1-2. 지수의 확장

[생각 열기]

머리카락의 굵기는 평균 [eqn: rm80`` μm](마이크로미터)이고 [eqn: rmDNA]의 폭은 [eqn: rm2``nm](나노미터)라고 한다. 여기서 [eqn: rm1``μm]는 [eqn: rm1 over 10^6 ``m]이고, [eqn: rm1``nm]는 [eqn: rm1 over 10^9 ``m]이다.

[정답] ➊ [eqn: 10^6`]배      ➋ [eqn: 6,~3``]

➊ [eqn: rm1 ``m]는 [eqn: rm1``μm]의 몇 배인지 말해 보자.

➋  다음은 [eqn: rm1``nm]가 몇 [eqn: rmμm]인지 구하는 과정이다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: rm1``nm= 1 over 10^9 ``m= 1 over 10^9 times 10^□ ``μm= 1 over 10^□ ``μm]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1]     (2) [eqn: 1]     (3) [eqn: 16over9]     (4) [eqn: - 1over27]

(1) [eqn: ( root3 of5 )^0]	(2) [eqn: (-2)^0]

(3) [eqn: left( 3over4 right)^-2]	(4) [eqn: (-3)^-3]

[eqn: a!=0], [eqn: b!=0]이고 [eqn: m], [eqn: n]이 [eqn: 0] 또는 음의 정수일 때, 다음 지수법칙이 성립함을 보이시오.

[정답]

[eqn: m=-p,~n=-q``]([eqn: p,~q`]는 양의 정수)라 하자.

(1) [eqn: a^m div a^n =a^-p div a^-q = 1 over a^p div 1over a^q = a^q over a^p`]

[eqn: = a^q times a^-p =a^q-p`]

[eqn: = a^-n+m =a^m-n`]

이것은 지수가 [eqn: 0`]일 때도 성립한다.

(2) [eqn: (ab)^n =(ab)^-q = 1 over{(ab)^q} = 1over{a^q b^q }`]

[eqn: = 1over a^q times 1 over b^q = a^-q `b^-q`]

[eqn: =a^n b^n`]

이것은 지수가 [eqn: 0`]일 때도 성립한다.

(1) [eqn: a^m div a^n =a^m-n]	(2) [eqn: (ab)^n =a^n b^n]

다음 식을 간단히 하시오. (단, [eqn: a!=0], [eqn: b!=0])

[정답] (1) [eqn: 27`]     (2) [eqn: 1over2`]     (3) [eqn: a^6 over b^4 `]     (4) [eqn: a^9 over b`]

(1) [eqn: 3^7 times 3^-4]	(2) [eqn: 2^2 div (2^-1 )^-3]

(3) [eqn: (a^-3 b^2 )^-2]	(4) [eqn: (ab)^5 div (a^2 b^-3 )^-2]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 8`]     (2) [eqn: 1over25 `]     (3) [eqn: 27`]     (4) [eqn: 1over4 `]

(1) [eqn: 4^{3 over2]	(2) [eqn: 125^{- 2over3 }]	(3) [eqn: 81^0.75]	(4) [eqn: 16^-0.5]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: r], [eqn: s]가 유리수일 때, 다음 지수법칙이 성립함을 보이시오.

[정답]

[eqn: r= m overn ,~s= p over q`]([eqn: m,~n,~p,~q`]는 정수, [eqn: n ge 2,~q ge 2`])라 하자.

(1) [eqn: a ^{r} ÷a ^{s} =a ^{{m} over {n}} ÷a ^{{p} over {q}} =a ^{{mq} over {nq}} ÷a ^{{np} over {nq}} = {root {nq} of {a ^{mq}}} over {root {nq} of {a ^{np}}}]

[eqn: = {root {nq} of {a ^{mq-np}}} =][eqn: a^{{mq-np}over{nq}}]

[eqn: =][eqn: a^{m overn - p over q} `][eqn: = a^r-s`]

(2) [eqn: (ab) ^{r} =(ab) ^{{m} over {n}} = root {n} of {(ab) ^{m}} = root {n} of {a^m b^m }`]

[eqn: = root {n} of {a ^{m}} root {n} of {b^m} = a^{m over n}`b^{m over n}`]

[eqn: =a^r b^r `]

(1) [eqn: a^r div a^s =a^r-s]	(2) [eqn: (ab)^r =a^r b^r]

다음 식을 간단히 하시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

[정답] (1) [eqn: 1over5`]     (2) [eqn: 3`]     (3) [eqn: 2`]     (4) [eqn: b over a `]

(1) [eqn: 5^{- 3 over2} times 5^0.5]	(2) [eqn: 3^{ 4over3} div 3^{ 1over3 }]

(3) [eqn: left(8^{ 2 over 3 }right)^{ 1 over 2}]	(4) [eqn: a^{- 2 over 3} b^{ 3over4} times left(a^{- 2 over 3} b^{ 1 over 2 }right)^{ 1 over 2 }]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: a]    (2) [eqn: a-b]

(1) [eqn: root3 of{a^5 rootb^2} div root3 of{a^2 b][eqn: = root3 ofa^5 root6 ofb^2 div root3 of{a^2 b} = a^{ 5over3} b^{1 over3} div (a^2 b)^{ 1over3}]

[eqn: = a^{5over3} b^{ 1over3} div a^{ 2over3} b^{1 over3} = a^{5over3 - 2over3} b^{ 1over3 - 1 over3}]

[eqn: = a^1 =a]

(2) [eqn: left(a^{ 1over3 }-b^{ 1over3 }right) left(a^{ 2 over 3} +a^{ 1over3} b^{ 1over3} +b^{ 2 over 3 }right)]

[eqn: =][eqn: left(a^{ 1over3} -b^{ 1over3 }right) left{ left(a^{ 1over3 }right)^2 +a^{ 1over3} b^{ 1over3} +left(b^{ 1over3 }right)^2 right}]

[eqn: =][eqn: left(a^{ 1over3 }right)^3 - left(b^{ 1over3 }right)^3][eqn: =a-b]

(1) [eqn: root3 of{a^5 rootb^2} div root3 of{a^2 b}]	(2) [eqn: left(a^{ 1over3} -b^{ 1over3 }right) left(a^{ 2 over 3} +a^{ 1over3} b^{ 1over3} +b^{ 2 over 3 }right)]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: b`]     (2) [eqn: a-b`]

(1) [eqn: root4 ofab^3 times root12 of{a^7 b^5} div root3 of{root{a^5 b}]

(2) [eqn: left( a ^{ 1over4} - b^{ 1over4} right) left( a ^{ 1over4} + b^{ 1over4} right)left( a ^{ 1over2} + b^{ 1over2} right)]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: 9`]     (2) [eqn: a^3`]     (3) [eqn: 25`]     (4) [eqn: 1over{ab^2} `]

(1) [eqn: 3^{2 root3} times 3^{2-2 root3}]	(2) [eqn: a^{root5 + 1 } div a^{root5 -2 }]

(3) [eqn: (( root5 )^root2 )^root8]	(4) [eqn: left( a^{root2 over2} b^root2 right)^{-root2]

[생각 넓히기]

다음은 지원이와 소민이가 각각 [eqn: left{(-2)^6 right}^{ 1 over 2 }]을 계산한 것이다.

[정답] 소민

지수가 유리수일 때의 지수법칙은 밑이 양수인 경우에만 성립하므로 [eqn: (-2)^6`]을 먼저 계산한 후 그 값에 [eqn: 1over2`]제곱을 해야한다.

지원이와 소민이 중에서 잘못 계산한 사람은 누구인지 말하고, 그 이유를 말해 보자.

1-1-3. 로그

[생각 열기]

다음은 민서와 현규의 대화이다.

[정답] [eqn: 2^x =10`]

현규의 대답을 식으로 나타내어 보자.

다음 등식을 [eqn: x=log_a `` N]의 꼴로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 4= log_{root3} `9`]   (2) [eqn: -2= log_{1over2} 4`]   (3) [eqn: 1over3 = log_{8} 2`]

(1) [eqn: (root3 )^4 =9]	(2) [eqn: left( 1 over 2 right)^-2 =4]	(3) [eqn: 8^{ 1over3} =2]

다음 등식을 [eqn: a^x =N]의 꼴로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 2^0 =1`]     (2) [eqn: 4^2 =16`]     (3) [eqn: left( 1over3 right)^-4 =81`]

(1) [eqn: log_2 ``1=][eqn: 0]	(2) [eqn: log_4 ``16=2]

(3) [eqn: log_{ 1over3} ``81=-4]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 4]     (2) [eqn: -2]

(1) [eqn: log_2 ``16=x]로 놓으면 로그의 정의에 의하여
[eqn: 2^x =16]
[eqn: 16=2^4]이므로    [eqn: x=4]
따라서 [eqn: log_2 ``16=4]이다.

(2) [eqn: log_{ 1over3} ``9=x]로 놓으면 로그의 정의에 의하여
[eqn: left( 1over3 right)^x =9]
[eqn: 9=3^2 = left( 1over3 right)^-2]이므로    [eqn: x=-2]
따라서 [eqn: log_{ 1over3} ``9=-2]이다.

(1) [eqn: log_2 ``16]	(2) [eqn: log_{ 1over3}`` 9]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 3`]     (2) [eqn: -4`]     (3) [eqn: -3`]     (4) [eqn: 3over2]

(1) [eqn: log_3 ``27]	(2) [eqn: log_2 ``1over16]

(3) [eqn: log_{1 over4} ``64]	(4) [eqn: log_5 `` root125]

다음 등식을 만족시키는 [eqn: N]의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 81] (2) [eqn: 1over8]

(1) 로그의 정의에 의하여    [eqn: N=3^4 =81]

(2) 로그의 정의에 의하여    [eqn: N=left( 1 over 2 right)^3 = 1 over8]

(1) [eqn: log_3 `N=4]	(2) [eqn: log_{ 1 over 2} `N=3]

다음 등식을 만족시키는 [eqn: N]의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1over64`]     (2) [eqn: 25`]

(1) [eqn: log_4 `N=-3]	(2) [eqn: log_{ 1over5} `N=-2]

로그의 성질을 이용하여 다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: - 1over2 `]     (2) [eqn: 3over4`]     (3) [eqn: 2`]

(1) [eqn: log_6 ` 1overroot6]	(2) [eqn: log_3 ` root4 of27]	(3) [eqn: -log_{ 1over5} ` 25]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 4]      (2) [eqn: 0]

(1) [eqn: log_2 ` 8over3 + 2 ` log_2 ` root6][eqn: = log_2 ` 8 over 3 + log_2 `( root6 )^2 = log_2 `8 over3 + log_2 `6]

[eqn: = log_2 ` left( 8over3 times 6 right) = log_2 `16]

[eqn: = log_2 `2 ^4 =4]

(2) [eqn: 2`log_3 `2 + 1 over2 ` log_3 ` 5- log_3 ` 4 root5]

[eqn: = log_3 ` 2^2 + log_3 ` 5^{ 1over2} - log_3 ` 4root5]
[eqn: = log_3 ` 4+ log_3 ` root5 - log_3 ` 4root5]
[eqn: = log_3 ` {4times root5} over{4root5} = log_3 ` 1]
[eqn: =0]

(1) [eqn: log_2 ` 8over3 + 2 `log_2 ` root6]	(2) [eqn: 2`log_3 `2 + 1 over2 ` log_3 ` 5- log_3 ` 4 root5]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2`]     (2) [eqn: - 1over2 `]

(1) [eqn: 3`log_4 `2root2 -log_4 `root2]	(2) [eqn: log_5 `2-log_5 `2 root10 +log_5 `root2]

[eqn: log_10 `2=a], [eqn: log_10 `3=b]일 때, 다음을 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대한 식으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 3a+b]     (2) [eqn: -2a+b+2]

(1) [eqn: log_10 `24][eqn: =log_10 `(2^3 times 3) =log_10 `2^3 +log_10 `3]

[eqn: =3 log_10 `2+log_10 `3=3a+b]

(2) [eqn: log_10 `75][eqn: =log_10 `(3 times 5^2 `) =log_10 `3+log_10 `5^2]

[eqn: =log_10 `3+2 log_10 `5=log_10 `3+2 log_10 ` 10 over2]

[eqn: =log_10 `3+2(1-log_10 `2)=-2 log_10 `2+log_10 `3+2]

[eqn: =-2a+b+2]

(1) [eqn: log_10 `24]	(2) [eqn: log_10 `75]

[eqn: log_2 `3=a], [eqn: log_2 `5=b]일 때, 다음을 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대한 식으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 2b+2`]   (2) [eqn: a-b-1`]   (3) [eqn: a+ b over2 -1]

(1) [eqn: log_2 `100]	(2) [eqn: log_2 ` 3over10]

(3) [eqn: log_2 ` root45 over2]

[생각 열기]

다음에 답하시오.

[정답] ➊ [eqn: 3over2`]

➋ [eqn: {log_2 `64} over {log_2 `16}][eqn: ={log_4 `64} over {log_4 `16}= 3over2`]

이것은 ➊의 결과와 같다.

➊ [eqn: log_16 `64]의 값을 구해 보자.

➋ [eqn: {log_2 `64} over {log_2 `16}]와 [eqn: {log_4 `64} over {log_4 `16}]의 값을 각각 구하고, 그 값을 ➊의 결과와 비교해 보자.

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2over3 `]     (2) [eqn: 6`]

(1) [eqn: log_216 `36]	(2) [eqn: log_root3 `27]

[eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.

[정답]

(1) [eqn: log_a b = {log_b b}over{log_b a} = 1 over{log_b a}`]

(2) [eqn: (log_a `b)(log_b `c)(log_c `a)`][eqn: = {log _{a} b} over {log _{a} a} TIMES {log _{a} c} over {log _{a} b} TIMES {log _{a} a} over {log _{a} c} =1`]

(1) [eqn: log_a `b= 1 over {log_b `a}]	(2) [eqn: (log_a `b)(log_b `c)(log_c `a)=1]

[eqn: log_5 `2=a], [eqn: log_5 `3=b]일 때, 다음을 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대한 식으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 4a over b]     (2) [eqn: 2b over a+1]

(1) [eqn: log_3 `16][eqn: = {log_5 `16} over{log_5 ` 3 }= {log_5 `2^4 } over {log_5 ` 3} ={ 4` log_5 `2} over {log_5 `3 }= 4a over b]

(2) [eqn: log_10 `9][eqn: = {log_5 `9} over{log_5 `10} = {log_5 `3^2} over{log_5 `(2 times 5)} ={ 2` log_5 `3} over{log_5 `2+log_5 `5} = 2b over a+1]

(1) [eqn: log_3 `16]	(2) [eqn: log_10 `9]

[eqn: log_10 `2=a], [eqn: log_10 `3=b]일 때, 다음을 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대한 식으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: a+b over 2a `]     (2) [eqn: a+2b over 1-a`]

(1) [eqn: log_2 `root6]	(2) [eqn: log_5 `18]

[생각 넓히기]

다음은 [eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a^{log_b ` c}=c^{log_b `a}]임을 보이는 과정이다.

[정답] ➊ [eqn: log_c `b, ~log_c `b,~log_c` a,~log_b `a,~log_b`a`]     ➋ [eqn: 81`]

[eqn: a^{log_b `c}=x]라 하면 로그의 정의에 의하여

[eqn: log_b `c=log_a `x]	…… ①

로그의 밑의 변환에 의하여

[eqn: log_c `c= 1 over box~~~~~], [eqn: log_a `x= {log_c `x} over {log_c `a}]	…… ②

①과 ②에서 [eqn: 1 over box~~~~~ = {log_c `x} over {log_c `a}]이므로  [eqn: log_c `x= box~~~~~ over {log_c `b} =box~~~~~]

로그의 정의에 의하여  [eqn: x=c^box~~~~~]

따라서 [eqn: a^{log_b `c}=c^{log_b `a}]이다.

➊ □ 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

➋ 위의 성질을 이용하여 [eqn: 4^{log_2 `9}]의 값을 구해 보자.

[탐구융합]	로그의 밑과 진수에 필요한 조건
	추론 | 태도 및 실천

[eqn: log_a `N]을 정의할 때 밑 [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이어야 하고 진수 [eqn: N]은 양수이어야 한다. 이와 같은 조건이 왜 필요한지 그 이유를 예를 통해 알아보자.

1. 밑 [eqn: a]는 왜 [eqn: 1]이 아닌 양수이어야 할까?

➊ [eqn: a<0]인 경우
[eqn: a=-3], [eqn: N=5]라 하면 [eqn: log_-3 `5=x]에서    [eqn: (-3)^x =5]
이것을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

➋ [eqn: a=0]인 경우
[eqn: N=5]라 하면 [eqn: log_0 `5=x]에서    [eqn: 0^x =5]
이것을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

➌ [eqn: a=1]인 경우
[eqn: N=5]라 하면 [eqn: log_1 `5=x]에서    [eqn: 1^x =5]
이것을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

따라서 ➊, ➋, ➌으로부터 [eqn: log_a `N]에서 밑 [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이어야 함을 알 수 있다.

2. 진수 [eqn: N]은 왜 양수이어야 할까?

➊ [eqn: N<0]인 경우
[eqn: a=5], [eqn: N=-2]라 하면 [eqn: log_5` (-2)=x]에서    [eqn: 5^x =-2]
이것을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

➋ [eqn: N=0]인 경우
[eqn: a=5]라 하면 [eqn: log_5 ` 0 =x]에서    [eqn: 5^x =0]
이것을 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

따라서 ➊과 ➋로부터 [eqn: log_a `N]에서 진수 [eqn: N]은 양수이어야 함을 알 수 있다.

[eqn: log_x+1 `(8-x)]가 정의되는 정수 [eqn: x]를 모두 구해 보자.

[정답] [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7`]

1-1-4. 상용로그

[생각 열기]

[eqn: rmpH]는 수소 이온 농도인 [eqn: rm[H^+ ]]의 지수를 나타낸 것으로 [eqn: 0]에서 [eqn: 14]까지 측정된다. 이때 [eqn: rm[H^+ ]]가 [eqn: 10]배씩 증가하면 [eqn: rmpH]는 [eqn: 1]씩 감소한다고 한다.

[정답] ➊ [eqn: 6,~10^-7 ,~8,~10^-9`]         ➋ [eqn: 10^5 `]배

➊ 다음 표는 [eqn: rmpH]와 [eqn: rm[H^+ ]] 사이의 대응 관계를 나타낸 것이다.

표를 완성해 보자.

[eqn: rmpH]	[eqn: 5]		[eqn: 7]		[eqn: 9]
[eqn: rm[H^+ ]]	[eqn: 10^-5]	[eqn: 10^-6]		[eqn: 10^-8]

➋ [eqn: rmpH]가 [eqn: 2]인 레몬의 [eqn: rm[H^+ ]]는 [eqn: rmpH]가 [eqn: 7]인 순수한 물의 [eqn: rm[H^+ ]]의

몇 배인지 구해 보자.

다음 상용로그의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 3`]     (2) [eqn: -4`]     (3) [eqn: 5over4 `]     (4) [eqn: 3over2`]

(1) [eqn: log`1000]	(2) [eqn: log` 1 over10000]

(3) [eqn: log root4 of10^5]	(4) [eqn: log`10root10]

상용로그표를 이용하여 다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 0.5717`]     (2) [eqn: 0.7846`]

(1) [eqn: log`3.73]	(2) [eqn: log`6.09]

상용로그표를 이용하여 다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2.6191] (2) [eqn: -2.0521]

(1) 상용로그표에서 [eqn: log`4.16=0.6191]이므로

[eqn: log`416][eqn: =log`(4.16 times 10^2 )=log`4.16+log`10^2]
[eqn: =0.6191+2=2.6191]

(2) 상용로그표에서 [eqn: log`8.87=0.9479]이므로

[eqn: log`0.00887][eqn: =log`(8.87 times 10^-3 )=log`8.87+log`10^-3]
[eqn: =0.9479+(-3)=-2.0521]

(1) [eqn: log`416]	(2) [eqn: log`0.00887]

상용로그표를 이용하여 다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1.7292`]     (2) [eqn: -1.0214`]

(1) [eqn: log`53.6]	(2) [eqn: log`0.0952]

어떤 광원으로부터 [eqn: d``rmm] 떨어진 지점에서 사람이 느끼는 감각 강도는
[eqn: log` h over d^2] ([eqn: h>0]인 상수)
라고 한다. 감각 강도가 [eqn: 3]일 때의 광원으로부터의 거리는 감각 강도가 [eqn: 1]일 때의 광원으로부터의 거리의 몇 배인지 구하시오.

[정답] [eqn: 1over10]배

감각 강도가 [eqn: 3], [eqn: 1]일 때의 광원으로부터의 거리를 각각 [eqn: d_1 rm``m], [eqn: d_2 ``rmm]라 하면

[eqn: 3=log` h over {d_1`^2 }],  [eqn: 1=log` h over {d_2`^2}]

이므로    [eqn: h over {d_1`^2} =10^3],  [eqn: h over{d_2`^2}=10]

즉, [eqn: d_1`^2 = h over 1000], [eqn: d_2`^2 = h over 10]이므로    [eqn: {d_1`^2} over {d_2`^2} = 1 over 100]

따라서 [eqn: d_1 over d_2 = 1 over10]이므로 감각 강도가 [eqn: 3]일 때의 광원으로부터의 거리는 감각 강도가 [eqn: 1]일 때의 광원으로부터의 거리의 [eqn: 1over10]배이다.

지구로부터의 거리가 [eqn: x] 광년인 별의 겉보기 등급을 [eqn: m], 절대 등급을 [eqn: M]이라 하면
[eqn: m-M=5`log`x-5]
가 성립함이 알려져 있다. 겉보기 등급이 [eqn: 3], 절대 등급이 [eqn: -2]인 별의 지구로부터의 거리는 몇 광년인지 구하시오.

[정답] [eqn: 100`]광년

[생각 넓히기]

빛이 어떤 유리판을 한 장 통과할 때마다 그 밝기가 [eqn: 5``]%씩 감소한다고 한다.(단, [eqn: log`9.5=0.9777], [eqn: log`5.984=0.7770]으로 계산한다.   [eqn: rm lx](럭스)는 빛의 조명도를 나타내는 단위이다.)

[정답] ❶ [eqn: (A times 0.95^n )` rm lx`]    ❷ [eqn: 598.4` rm lx`]

❶ 밝기가 [eqn: A`rm`lx]인 빛이 이 유리판을 [eqn: n]장 통과하였을 때의 밝기를 식으로 나타내어 보자.

❷ 밝기가 [eqn: rm1000``lx]인 빛이 이 유리판을 [eqn: 10]장 통과하였을 때의 밝기를 구해 보자.

[탐구융합]	층간 소음, 지혜롭게 해결하는 방법은?
	창의 · 융합 | 의사소통 | 태도 및 실천

공동 주택이 늘어나면서 층간 소음이 사회적 문제가 되고 있다. 특히, 겨울철에는 난방을 위해 창문을 닫고 생활하기 때문에 층간 소음을 더 심하게 느낀다고 한다.

층간 소음은 소리의 세기에 따른 소리의 크기로 측정할 수 있는데, 법으로 정한 층간 소음의 허용 기준은 오른쪽 그림과 같다.

한편, 소리의 세기가 [eqn: I```rmW/m^2]일 때, 소리의 크기

[eqn: D``rm dB]는

[eqn: D=10` log I over 10^-12]

와 같이 정한다고 한다. 이때 [eqn: rmdB](데시벨)은 소리의 크기를 나타내는 단위이다.

다음 표는 유형에 따른 소리의 세기를 조사한 것이다. 빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[정답]

소리 유형	[eqn: I```rmW/m^2]	[eqn: I over 10^-12]	[eqn: D``rmdB]
속삭이는 대화	[eqn: 10^-10]	[eqn: 10^2`]	[eqn: 20`]
냉장고 또는 청소기 소리	[eqn: 10^-8]	[eqn: 10^4`]	[eqn: 40`]
물건을 떨어뜨리는 소리	[eqn: 10^-6.5]	[eqn: 10^5.5`]	[eqn: 55]
망치질 소리	[eqn: 10^-6]	[eqn: 10^6`]	[eqn: 60`]
전화벨 소리	[eqn: 10^-5]	[eqn: 10^7`]	[eqn: 70`]
스피커 음악 소리	[eqn: 10^-3.5]	[eqn: 10^8.5`]	[eqn: 85`]

소리 유형	[eqn: I```rmW/m^2]	[eqn: I over 10^-12]	[eqn: D``rmdB]
속삭이는 대화	[eqn: 10^-10]
냉장고 또는 청소기 소리	[eqn: 10^-8]
물건을 떨어뜨리는 소리	[eqn: 10^-6.5]
망치질 소리	[eqn: 10^-6]
전화벨 소리	[eqn: 10^-5]
스피커 음악 소리	[eqn: 10^-3.5]

위의 표에서 최고 소음을 기준으로 주간과 야간에 허용 가능한 소리 유형을 각각 정리해 보자.

[정답]

주간	속삭이는 대화, 냉장고 또는 청소기 소리, 물건을 떨어뜨리는 소리
야간	속삭이는 대화, 냉장고 또는 청소기 소리

주간
야간

층간 소음을 줄이기 위해 실천할 수 있는 방법을 조사하여 발표해 보자.

[정답] 실내용 슬리퍼를 착용한다. 소음 방지용 매트를 설치한다.

중단원 마무리하기

[기본]

다음 거듭제곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -5`]     (2) [eqn: - 1over3 , ~ 1over 3 `]

(1) [eqn: -125]의 세제곱근

(2) [eqn: 1 over81]의 네제곱근

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 6`]     (2) [eqn: 5]     (3) [eqn: 2`]     (4) [eqn: 2`]

(1) [eqn: root3 of3 times root3 of72]	(2) [eqn: {root4 of2500} over{ root4 of4]

(3) [eqn: ( root6 of4 )^3]	(4) [eqn: root3 of{root3 of512]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2`]     (2) [eqn: 8`]     (3) [eqn: 81`]     (4) [eqn: 576`]

(1) [eqn: 2^ {5over4} times 2^{- 1 over4 }]	(2) [eqn: 4^{ 4over3 } div 4^{- 1 over 6 }]

(3) [eqn: (3^root2 )^root8]	(4) [eqn: left(3^{ root{ 2 over 3}} times 2^{{2root3} over {root2}} right)^{root6}]

다음 등식을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 25`]     (2) [eqn: 8`]     (3) [eqn: 1over10000 `]     (4) [eqn: - 2over3 `]

(1) [eqn: log_5 `x=2]	(2) [eqn: log_x `2root2 = 1 over 2]

(3) [eqn: log`x=-4]	(4) [eqn: log` 1 over { root3 of1000} =x]

다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -2`]     (2) [eqn: 3`]     (3) [eqn: 1`]     (4) [eqn: -1`]

(1) [eqn: log_0.25 `16]	(2) [eqn: log_root3 `3root3]

(3) [eqn: log_2 ` 4over3 +log_2 ` 3 over2]	(4) [eqn: 2` log`root10 -log`100]

[표준]

다음 식을 간단히 하시오.

[정답] (1) [eqn: 4 root {3} of {2}`]     (2) [eqn: 9 root {3} of {3}`]     (3) [eqn: -15`]     (4) [eqn: 1over2`]

(1) [eqn: 3 ` root3 of2 + root{root3 of4]	(2) [eqn: root3 of81 - root 6 of16 times root3 of6 + 8` root3 of3]

(3) [eqn: root3 of-125 times root{root3 of27^2]	(4) [eqn: root5 of32^2 div ( root3 of2 )^6 div root3 of root64]

[eqn: left( 1over64 right)^{ 1overn]이 자연수가 되도록 하는 정수 [eqn: n]의 값을 모두 구하시오.

[정답] [eqn: -1,``-2,``-3,``-6`]

[eqn: x>0]에 대하여 [eqn: x^{ 1 over 2} +x^{- 1 over 2} =3]일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 7`]     (2) [eqn: 18`]

(1) [eqn: x+ 1 overx]	(2) [eqn: x^{ 3 over2} +x^{- 3 over2 }]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {a^x +a^-x } over{a^x -a^-x} = 4over3]일 때, [eqn: a^4x]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: a!=1])

[정답] [eqn: 49`]

[eqn: log_x-2` (6-x)]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 2`]

세 수

[정답] [eqn: B`]

세 수를 정리하면

[eqn: A=3^{log_3 `27-log_3 `18} =3^{log_3 {27over18}} = 3^{log_3 {3over2}} = 3over2 `]

[eqn: B=log_5 `25-log_5 ` 1 over 125 =log_5 `5^2 -log_5 ` 1 over {5^3} `]

[eqn: =2-(-3)=5`]

[eqn: C=log_2 `left{log_4 `(log_8 `64)right}= log_2 (log_4 `2)]

[eqn: = log_2 ` 1over2 = -1`]

따라서 [eqn: C < A< B ``]이므로 가장 큰 수는 [eqn: B`]이다.

[eqn: A=3^{log_3 `27-log_3 `18}], [eqn: B=log_5 `25-log_5 ` 1 over 125], [eqn: C=log_2 `left{log_4 `(log_8 `64)right}]

중에서 가장 큰 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: log`(log_2 `3)+log`(log_3 `4)+log`(log_4 `5)+ ~CDOTS~ +log`(log_1023 `1024)]

[정답] [eqn: 1`]

의 값을 구하시오.

[eqn: log_5 `2=a], [eqn: log_5 `3=b]일 때, 다음을 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대한 식으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 2a+b`]  (2) [eqn: 3b-a`]  (3) [eqn: {3a+2b}over{a+b}`]  (4) [eqn: {2b-4a}over{b}`]

(1) [eqn: log_5 `12]	(2) [eqn: log_5 ` 27 over2]

(3) [eqn: log_6 `72]	(4) [eqn: log_3 ` 9over16]

상용로그표를 이용하여 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: 5.73`]     (2) [eqn: 5730`]

(1) [eqn: log`N=0.7582]인 실수 [eqn: N]의 값을 구하시오.

(2) (1)을 이용하여 [eqn: log`M=3.7582]인 실수 [eqn: M]의 값을 구하시오.

[eqn: log`4.73=0.6749]임을 이용하여 다음 등식을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2.6749`]     (2) [eqn: 0.0473`]

(1) [eqn: x=log `473]	(2) [eqn: log`x=-1.3251]

[발전]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 4^{ 1 over a} =25^{ 1 over b} =1000]이 성립할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2over3`]

[eqn: 4^{ 1 over a}] [eqn: =1000`]에서 [eqn: 4= 1000^a`]	[eqn: cdots cdots`]①

[eqn: 25^{ 1 over b} `][eqn: =1000`]에서 [eqn: 25= 1000^b `]	[eqn: cdots cdots`]②

①[eqn: `times`]②를 하면

[eqn: 100 = 1000^a times 1000^b ` = 1000^ {a+b} `]

즉, [eqn: 10^2 = 10^{3(a+b)}`]이므로

[eqn: 3(a+b) =2 ,~] [eqn: a+b= 2over3 `]

[eqn: a= root2 over 2]일 때, [eqn: 2 over {1-a^{ 1 over 8 }} + 2 over {1+a^ {1 over 8 }} + 4 over {1+a^{ 1over4 }} + 8 over{1+a^{ 1 over 2 }} + 16 over 1+a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 64`]

[eqn: 2 over {1-a^{ 1 over 8 }} + 2 over {1+a^ {1 over 8 }} + 4 over {1+a^{ 1over4 }} + 8 over{1+a^{ 1 over 2 }} + 16 over 1+a]

[eqn: = 2 over {1-a^ {1 over 4 }} + 4 over {1+a^{ 1over4 }} + 8 over{1+a^{ 1 over 2 }} + 16 over 1+a]

[eqn: = 2 over {1-a^ {1 over2 }} + 8 over{1+a^{ 1 over 2 }} + 16 over 1+a]

[eqn: = 2 over {1-a} + 16 over 1+a = 32 over{1-a^2} `]

[eqn: = 32 over{1-left(root2 over 2 right)^2} =64`]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[정답] [eqn: 15`]

[eqn: 3^a = k ^c`]에서   [eqn: 3= k^{c over a `}]	[eqn: cdots cdots`]①

[eqn: 5^b =k^c`]에서   [eqn: 5= k^{c over b `}]	[eqn: cdots cdots`]②

①[eqn: `times`]② 를 하면

[eqn: 15 = k^{c over a} k^{c over b} = k^{bc+ca over ab}`]

이때 [eqn: ab=bc+ca `]이므로

[eqn: bc+ca over ab = ab over ab =1`]

따라서 [eqn: k=15`]이다.

[eqn: 3^a =5^b =k^c],  [eqn: ab=bc+ca]

일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

이차방정식 [eqn: x^2 `-2x-7=0]의 두 근이 [eqn: log_2 `a], [eqn: log_2 `b]일 때, [eqn: log_a `b+log_b `a]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: - 18over7 `]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log_2 ` a+ log_2 `b=2,~log_2 `a times log_2 `b = -7`]

[eqn: log_a `b+log_b `a = {log_2 `b}over{log_2 `a} +{log_2 `a}over{log_2 `b}`]

[eqn: = {(log_2 `a)^2 +(log_2 `b)^2}over{log_2 `a times log_2 `b}`]
[eqn: = {2^2 -2 times(-7)}over{-7}`]

[eqn: = - 18 over7 `]

세기가 [eqn: x``rmW]인 전파가 벽을 투과하여 세기가 [eqn: y``rmW]인 전파로 바뀔 때, 그 벽의 전파 감쇠비는

[정답] [eqn: -5.017``rm dB`]

[eqn: 10log 63over200 = 10 `log` 0.315`]

상용로그표에서 [eqn: log`3.15 = 0.4983`]이므로

[eqn: 10 `log` 0.315= 10 log left(3.15 times 10^-1 right)`]

[eqn: = 10 left(log 3.15 + log 10^-1 right)`]

[eqn: = 10 (0.4983 -1)`]

[eqn: = -5.017`]

따라서 구하는 벽의 전파 감쇠비는 [eqn: -5.017``rm dB`]이다.

[eqn: 10` log ` y overx` rmdB]

이라고 한다. 세기가 [eqn: 200``rmW]인 전파가 어떤 벽을 투과하여 세기가 [eqn: 63``rmW]인 전파로 바뀌었을 때, 이 벽의 전파 감쇠비는 몇 [eqn: rmdB]인지 상용로그표를 이용하여 구하시오.(단, [eqn: rmW](와트)는 전력의 단위이다.)

1-2-1. 지수함수와 로그함수

[생각 열기]

강이나 호수 등의 민물에서 주로 서식하는 짚신벌레는 한 번 분열할 때마다 개체 수가 [eqn: 2]배가 된다고 한다.

[정답] ➊ [eqn: 4,~8,~16,~32,~64`]   ➋ [eqn: y=2^x`]

➊ 짚신벌레의 분열 횟수를 [eqn: x], 개체 수를 [eqn: y]라 하자. 처음 짚신벌레의 개체 수가 [eqn: 1]일 때, 다음 표를 완성해 보자.

[eqn: x]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: y]	[eqn: 2]

➋ ➊에서 [eqn: x]와 [eqn: y] 사이의 관계를 식으로 나타내어 보자.

지수함수 [eqn: y=2^x]의 그래프를 이용하여 함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x]의 그래프를 그리시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: y=left( 1 over 2 right)^x =2^{-x}]이므로 함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x]의 그래프는 [eqn: y=2^x]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이다.

따라서 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

문제 1다음 지수함수의 그래프를 그리시오.

[정답]

(1) [eqn: y=3^x]

(2) [eqn: y=left( 1over3 right)^x]

함수 [eqn: y=2^x-1 +2]의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

[정답] 풀이 참조

함수 [eqn: y=2^x-1 +2]의 그래프는 [eqn: y=2^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: y=2^x-1 +2]의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 점근선은 직선 [eqn: y=2]이다.

다음 함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

[정답] (1)     (2)

(1) [eqn: y=3^x+1 -2]	(2) [eqn: y= left( 1 over 2 right)^x-1 +1]

지수함수 [eqn: y=3^x], [eqn: y= left( 1over3 right)^x]의 그래프를 이용하여 다음 로그함수의 그래프를 그리시오.

[정답]

(1) [eqn: y=log_3 `x]	(2) [eqn: y=log_{ 1over3} `x]

함수 [eqn: y=-log_2 `(x-1)+2]의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

[정답] 풀이 참조

함수 [eqn: y=-log_2 `(x-1)+2]의 그래프는 [eqn: y=log_2 `x]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동 한 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: y=-log_2 `(x-1)+2]의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 점근선은 직선 [eqn: x=1]이다.

다음 함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

[정답]

(1) [eqn: y=log_{ 1over3} `(x+2)+1]	(2) [eqn: y=-log_2 1 over x+1 -1]

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

[정답] (1) [eqn: root 3 of2 < root 8 of8]  (2) [eqn: 1 over 2 `log_{ 1 over 2} `100<2`log_{ 1 over 2} `3]

(1) [eqn: root 3 of 2 =2^{ 1over3 }],  [eqn: root 8 of8 =(2^3 ) ^{1 over 8} =2^{ 3 over 8 }]
지수함수 [eqn: y=2^x]은 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.
이때 [eqn: 1over3 < 3 over 8]이므로
[eqn: 2^{ 1over3} <2^{ 3 over 8 }]
따라서 [eqn: root 3 of2 < root 8 of8]이다.

(2)  [eqn: 1 over 2 `log_{ 1 over 2} `100][eqn: =log_{ 1 over 2} `(10^2 )^{ 1 over 2}][eqn: =log_{ 1 over 2} `10],
[eqn: 2`log_{ 1 over 2} `3=log_{ 1 over 2} `3^2 `=log_{ 1 over 2} `9]
로그함수 [eqn: y=log_{ 1 over 2} `x]는 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.
이때 [eqn: 10>9]이므로
[eqn: log _{ 1 over 2} `10< log_{ 1 over 2} `9]
따라서 [eqn: 1 over 2 `log_{ 1 over 2} `100<2`log_{ 1 over 2} `3]이다.

(1) [eqn: root 3 of2],  [eqn: root8 of8]	(2) [eqn: 1 over 2 `log_{ 1 over 2} `100],  [eqn: 2`log_{ 1 over 2} `3]

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

[정답] (1) [eqn: root {4} of {9} > root {5} of {3}`]     (2) [eqn: root9 of0.5^10 < root10 of0.5^9 `]

(1) [eqn: root4 of9],  [eqn: root5 of3]	(2) [eqn: root9 of0.5^10],  [eqn: root10 of0.5^9]

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

[정답] (1) [eqn: 2`log_3 `root15 <4`log_3 `2`]  (2) [eqn: 1over3 `log_{ 1over5} `64 > 3`log_{ 1over5} `root3`]

(1) [eqn: 2`log_3 `root15],  [eqn: 4`log_3 `2]	(2) [eqn: 1over3 `log_{ 1over5} `64],  [eqn: 3`log_{ 1over5} `root3]

정의역이 [eqn: left{x`|`-2 le x le 1 right}]인 함수 [eqn: y=2^x+2 -1]의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[정답] 최댓값 : [eqn: 7], 최솟값 : [eqn: 0]

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=2^x+2 -1]의 그래프는 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.

따라서 함수 [eqn: y=2^x+2 -1]은

[eqn: x=-2]일 때, 최솟값    [eqn: 2^-2+2 -1=0]

[eqn: x=1]일 때, 최댓값    [eqn: 2^1+2 -1=7]

을 갖는다.

정의역이 [eqn: left{x`|`1 le x le 9 right}]인 함수 [eqn: y=log_{ 1over3 }`x-2]의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[정답] 최댓값 : [eqn: -2,]   최솟값 : [eqn: -4`]

[생각 넓히기]

다음은 경수, 명진, 선영이가 세 함수 [eqn: y=log_2 x^2], [eqn: y=2`log_2 `x], [eqn: y=2`log_2 `|`x`|]에 대하여 각자의 생각을 말한 것이다.

[정답] ❶

❷ 명진이의 주장만 옳다.

❶ 세 함수 [eqn: y=log_2 x^2], [eqn: y=2`log_2 `x], [eqn: y=2`log_2 `|`x`|]의 그래프를

그려 보자.

❷ ❶을 이용하여 경수, 명진, 선영이의 주장이 옳은지 확인해

보자.

1-2-2. 지수함수와 로그함수의 활용

[생각 열기]

오른쪽 그림은 지수함수 [eqn: y=2^x]의

[정답] ❶ [eqn: 1`]    ❷ [eqn: 3`]

그래프와 직선 [eqn: y=8]이다.

➊ 함수 [eqn: y=2^x]의 그래프와 직선 [eqn: y=8]의

교점의 개수를 구해 보자.

➋ 그래프를 이용하여 방정식 [eqn: 2^x =8]을

만족시키는 [eqn: x]의 값을 구해 보자.

다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x=-5]     (2) [eqn: x=2]

(1) [eqn: 1 over32 =2^-5]

이므로 주어진 방정식은

[eqn: 2^x =2^-5]
양변의 밑이 [eqn: 2]로 같으므로

[eqn: x=-5]

(2) [eqn: left( 1over27 right)^x =(3^-3 )^x =3^-3x], [eqn: 9^x-5 =(3^2 )^x-5 =3^2x-10]

이므로 주어진 방정식은

[eqn: 3^-3x =3^2x-10]
양변의 밑이 [eqn: 3]으로 같으므로

[eqn: -3x=2x-10]에서

[eqn: x=2]

(1) [eqn: 2^x = 1over32]	(2) [eqn: left( 1 over27 right)^x = 9^x-5]

다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x=4`]   (2) [eqn: x=10`]   (3) [eqn: x=4`]   (4) [eqn: x= 3over4`]

(1) [eqn: 3^x =81]	(2) [eqn: 4^x+2 =8^x-2]

(3) [eqn: left( 1over16 right)^x+2 = left( 1over64 right)^x]	(4) [eqn: 25^3-x =left( 1over125 right)^2x-3]

다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x>6]     (2) [eqn: x ge 2]

(1) [eqn: 4^x =(2^2 )^x =2^2x], [eqn: 8^x-2 =(2^3 )^x-2 =2^3x-6]

이므로 주어진 부등식은
[eqn: 2^2x <2^3x-6]
양변의 밑이 [eqn: 2]로 같고 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: 2x<3x-6]에서
[eqn: x>6]

(2) [eqn: left( 1over25 right)^x =left{ left( 1over5 right)^2 right}^x =left( 1over5 right)^2x]

이므로 주어진 부등식은
[eqn: left( 1over5 right)^x+2 ge left( 1over5 right)^2x]
양변의 밑이 [eqn: 1over5]로 같고 [eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: x+2 le 2x]에서
[eqn: x ge 2]

(1) [eqn: 4^x <8^x-2]	(2) [eqn: left( 1over5 right)^x+2 ge left( 1over 25 right)^x]

다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x ge -7`]     (2) [eqn: x<4`]

(1) [eqn: 32^2x ge 128^x-3]	(2) [eqn: left( 1over root3 right)^x < left( 1over9 right)^x-3]

방사성 동위 원소 중 가장 안정적인 [eqn: rm`^14 C]는 [eqn: 5730]년마다 그 양이 반으로 줄어든다고 한다.
어느 유적지의 벽화를 조사했더니 [eqn: rm`^14 C]가 [eqn: rm62.5```g] 남아 있었다. 처음 [eqn: rm`^14 C]의 양이 [eqn: rm500``g] 이었다면 이 벽화는 몇 년 전의 것이라 할 수 있는지 말하시오.

[정답] [eqn: 17190]년

[eqn: rm`^14 C]의 반감기가 [eqn: 5730]년이므로 이 벽화의 [eqn: x]년 후에 남아 있는 [eqn: rm`^14 C]의 양은 처음 양의 [eqn: left( 1over2 right)^{x over5730}]이 된다.

이 벽화의 처음 [eqn: rm`^14 C]의 양이 [eqn: rm500``g]이므로

[eqn: x]년 후에 남아 있는 [eqn: rm`^14 C]의 양은

[eqn: left{ 500 timesleft( 1over2 right)^{ x over5730} right}``rmg]

이고, 현재 남아 있는 [eqn: rm`^14 C]의 양이 [eqn: rm62.5``g]이므로

[eqn: 500 times left( 1 over 2 right)^{x over5730} =62.5]

이 식을 정리하면

[eqn: left( 1 over 2 right)^{x over5730} = 625 over 5000],  [eqn: left( 1 over 2 right)^{ x over 5730} =left( 1 over 2 right)^3]

양변의 밑이 [eqn: 1 over 2]로 같으므로 [eqn: x over 5730 =3]에서

[eqn: x=17190]

따라서 [eqn: 17190]년 전의 벽화라 할 수 있다.

어느 펀드 상품에 [eqn: A]원을 투자할 때, [eqn: t]년 후의 이익금은 [eqn: A left( 4over3 right)^{t over 3}]원이 된다고 한다. 처음 투자 금액이 [eqn: 90]만 원이고 [eqn: t]년 후의 이익금이 [eqn: 160]만 원일 때, [eqn: t]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6`]

어떤 방향제는 개봉한 지 [eqn: t]시간 후에 처음 양의 [eqn: left( 1over{ root50 of2}right)^t]만큼 기화되어 향기를 내는 데, 기화되는 양이 처음 양의 [eqn: 1 over128]보다 적으면 사람이 더 이상 향기를 느끼지 못한다고 한다. 이 방향제의 향기가 지속되는 시간을 구하시오.

[정답] [eqn: 350`]시간

[생각 열기]

오른쪽 그림은 로그함수 [eqn: y=log _2 `x]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]이다.

[정답] ❶ [eqn: 1`]     ❷ [eqn: 4`]

➊  함수 [eqn: y=log_2 `x]의 그래프와 직선

[eqn: y=2]의 교점의 개수를 구해 보자.

➋  그래프를 이용하여 방정식

[eqn: log_2 `x=2]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을

구해 보자.

다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x=4]    (2) [eqn: x=3]

(1) 양변의 밑이 [eqn: 2]로 같으므로 [eqn: 3x-1=2x+3]에서
[eqn: x=4]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①
그런데 [eqn: 3x-1], [eqn: 2x+3]은 로그의 진수이므로

[eqn: 3x-1>0], [eqn: 2x+3>0]에서
[eqn: x> 1over3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①, ②에서 [eqn: x=4]

(2) 주어진 방정식을 변형하면    [eqn: log_3 `(x-2)(x+2)=log_3 `5]

양변의 밑이 [eqn: 3]으로 같으므로 [eqn: (x-2)(x+2)=5]에서    [eqn: x^2 `=9]
[eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①
그런데 [eqn: x-2], [eqn: x+2]는 로그의 진수이므로 [eqn: x-2>0], [eqn: x+2>0]에서
[eqn: x>2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①, ②에서    [eqn: x=3]

(1) [eqn: log_2 `(3x-1)=log_2 `(2x+3)]

(2) [eqn: log_3 `(x-2)+log_3 ` (x+2)=log_3 `5]

다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x=2`]     (2) [eqn: x=5`]

(1) [eqn: log_3 `(x+1)+log_3 `(x+7)=3]

(2) [eqn: log_4 `(3x+10)=log_2 `x]

다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: 2<x<10]    (2) [eqn: x> 1over3]

(1) [eqn: 3=log_2 `2^3 =log_2 `8]이므로

[eqn: log_2 `(x-2)<log_2 `8]
양변의 밑이 [eqn: 2]로 같고 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x-2<8]에서
[eqn: x<10]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①
그런데 [eqn: x-2]는 로그의 진수이므로 [eqn: x-2>0]에서
[eqn: x>2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①, ②에서    [eqn: 2<x<10]

(2) 양변의 밑이 [eqn: 1over3]로 같고 [eqn: 1]보다 작으므로

[eqn: 3x-1 le 4x+1]에서
[eqn: x ge -2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①
그런데 [eqn: 3x-1], [eqn: 4x+1]은 로그의 진수이므로

[eqn: 3x-1>0], [eqn: 4x+1>0]에서
[eqn: x> 1over3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①, ②에서    [eqn: x> 1over3]

(1) [eqn: log_2 `(x-2)<3]

(2) [eqn: log_{ 1over3 }`(3x-1) ge log_{ 1over3} (4x+1)]

다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: 1<x<10`]     (2) [eqn: x ge 3`]

(1) [eqn: log_3 `(x-1)<2]

(2) [eqn: log_{ 1 over 2} `(2x+1) ge log_{ 1 over 2} `(3x-2)]

지진에 의해서 발생된 에너지의 양은 보통 리히터 규모로 나타내는데, 발생되는 에너지가 [eqn: x``rm erg](에르그)인 지진의 리히터 규모를 [eqn: M]이라 하면
[eqn: log`x=11.8+1.5M]
이 성립한다고 한다. 리히터 규모가 [eqn: 5]인 지진의 에너지는 규모가 [eqn: 3]인 지진의 에너지의 몇 배인지 구하시오.

[정답] [eqn: 1000]배

리히터 규모가 [eqn: 3]인 지진의 에너지를 [eqn: x``rm erg]라 하면

[eqn: log`x=11.8+1.5 times 3=16.3],    [eqn: x=10^16.3]

리히터 규모가 [eqn: 5]인 지진의 에너지를 [eqn: y``rm erg]라 하면

[eqn: log`y=11.8+1.5 times 5=19.3],    [eqn: y=10^19.3]

이때

[eqn: y overx = 10^19.3 over 10^16.3 =10^19.3-16.3 =10^3 =1000]

이므로 규모가 [eqn: 5]인 지진의 에너지는 규모가 [eqn: 3]인 지진의 에너지의 [eqn: 1000]배이다.

처음 본 의미 없는 음절을 [eqn: x]초 후까지 기억하는 학생의 비율을 [eqn: y``]%라 할 때,
[eqn: y=80-62`log`x]
가 성립한다고 한다. 의미 없는 음절을 처음 본 [eqn: 200]명의 학생 중에서 이것을 기억하는 학생이 [eqn: 36]명 이하가 되는 것은 몇 초 후부터인지 구하시오.

[정답] [eqn: 10`]초

[생각 넓히기]

[eqn: a^x] 또는 [eqn: log_a `x]의 꼴이 반복되는 방정식의 해를 구해 보자.

[정답] ❶ (1) [eqn: X`^2 -3X-4=0`]  (2) [eqn: X=4,~x=2`]

❷ [eqn: x= 1over4 `] 또는 [eqn: x=16`]

❶ 방정식 [eqn: 4^x -3 times 2^x -4=0]을 다음 단계를 따라 풀어 보자.
(1) [eqn: 2^x =X(X>0)]로 놓고 주어진 방정식을 [eqn: X]에 대한 방정식으로

나타내시오.
(2) (1)의 방정식에서 [eqn: X]의 값을 구하고, 이것을 이용하여 [eqn: x]의 값을

구하시오.

❷ 방정식 [eqn: (log_2 `x)^2 `-log_2 `x^2 `-8=0]을 풀어 보자.

[탐구융합]	실내 환기의 중요성
	문제 해결 | 창의 · 융합 | 태도 및 실천

실내에는 눈에 보이지 않는 미세 먼지, 휘발성 유기 화합물 등의 유해 물질이 많이 있는데, 이러한 물질은 알레르기 비염이나 천식 등의 원인이 될 수 있다. 따라서 유해 물질이 실내에 쌓이지 않도록 환기를 통해 청결한 상태로 유지하는 것이 중요하다.

다음은 산소 농도에 관한 카드 뉴스이다.

위의 카드 뉴스 ➍를 보고, 다음에 답해 보자.

실내 환기가 되지 않는 어떤 사무실의 현재 산소 농도가 [eqn: 21 ``]%이다. 이 사무실의 산소 농도를 [eqn: 10]분 간격으로 측정할 때, [eqn: n]번째 측정에서의 산소 농도를 [eqn: f(n)``]%라 하자. [eqn: f(n)]을 구하시오.

[정답] [eqn: f(n)=21 times 0.99^n `]

이 사무실의 산소 농도가 [eqn: 18 ``]% 이하가 되는 경우는 몇 번째 측정부터인지 구하시오.

[정답] [eqn: 16`]번째

(단, [eqn: log`6=0.7782], [eqn: log`7=0.8451], [eqn: log`9.9=0.9956]으로 계산한다.)

중단원 마무리하기

[기본]

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

[정답] (1) [eqn: root4 of3^3 <][eqn: root3 of3^4]     (2) [eqn: left( root{ 1over2} right)^3 >][eqn: left( 1over2 right)^2]

(3) [eqn: log_4 `25 >][eqn: log_4 `12]  (4) [eqn: log_{ 1 over 2} ` 11 over 5 >][eqn: log_{ 1 over 2}` 5over2]

(1) [eqn: root4 of3^3], [eqn: root3 of3^4]	(2) [eqn: left( root{ 1over2} right)^3], [eqn: left( 1over2 right)^2]

(3) [eqn: log_4 `25], [eqn: log_4 `12]	(4) [eqn: log_{ 1 over 2} ` 11 over 5], [eqn: log_{ 1 over 2}` 5over2]

다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[정답] (1) 최댓값 : [eqn: 1,]   최솟값 : [eqn: 1over16]

(2) 최댓값 : [eqn: 1,]   최솟값 : [eqn: 0`]

(1) 정의역이 [eqn: left{x`|`-2 le x le 2 right}]인 함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x+2]

(2) 정의역이 [eqn: left{x`|`3 le x le 9 right}]인 함수 [eqn: y=log_3 `x-1]

다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x=8`]      (2) [eqn: x=-3`] 또는 [eqn: x=1`]

(3) [eqn: x= - 3over2`]   (4) [eqn: x= root2`]

(1) [eqn: 2^x-1 =128]

(2) [eqn: left( 3over4 right)^x^2 =left( 4over3 right)^2x-3]

(3) [eqn: log_2 `(x+2)=-1]

(4) [eqn: log`(x+1)+log`(x-1)=0]

다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x ge 3 `]         (2) [eqn: x<2`]

(3) [eqn: -3<x<1`]   (4) [eqn: 0<x le 1over8`]

(1) [eqn: 2^x+2 ge 32]	(2) [eqn: left(1over3 right)^2x > 1 over 81]

(3) [eqn: log_2 `(x+3)<2]	(4) [eqn: log_{ 1 over 2} `x ge 3]

[표준]

집합 [eqn: A=left{(x,~ y)`|`y=a^x right}]에 대하여 [eqn: (m,~ n)∈A]일 때, 항상 [eqn: A]의 원소인 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: a!=1])

[정답] ㄱ, ㄴ, ㄹ

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: (m+1,~ an)] ㄴ. [eqn: (2m,~ n^2 )] ㄷ. [eqn: (m^2 ,~ 3n)] ㄹ. [eqn: left(-m,~ 1over n right)]

함수 [eqn: y=2^2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y=16 times 2^2x + 5over2]의 그래프가 되었다. 이때 [eqn: p], [eqn: q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: p=-2 ,~q= 5over2 `]

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=log_3 `x]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 사각형 [eqn: rmABCD]는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이다. 이때 점 [eqn: rmD]의 좌표를 구하시오. (단, 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]는 [eqn: x]축 위의 점이다.)

[정답] [eqn: (4,~1)`]

함수 [eqn: y=log_a `x+b]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만나고, 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1], [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: a!=1])

[정답] [eqn: a=2,~b=1`]

함수 [eqn: y=log_2 `(x+a)+b]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: a=2,~b=3`]

오른쪽 그림과 같이 두 함수 [eqn: y=log_2 `x], [eqn: y=log_2 `4x]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=4]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 6`]

다음 세 수의 대소를 비교하시오.

[정답] (1) [eqn: left( 1 over 2 right)^{ 1 over 2 } <][eqn: root4 of16 <][eqn: ( root3 of4 )^2]

(2) [eqn: 2` log_{ 1 over 2} ` 1over3][eqn: <][eqn: -2` log_{ 1 over 2} `4][eqn: <][eqn: 3 `log_{ 1 over 2} ` 1over5]

(1) [eqn: root4 of16], [eqn: ( root3 of4 )^2], [eqn: left( 1 over 2 right)^{ 1 over 2 }]

(2) [eqn: 3 `log_{ 1 over 2} ` 1over5], [eqn: 2` log_{ 1 over 2} ` 1over3], [eqn: -2` log_{ 1 over 2} `4]

정의역이 [eqn: left{x`|`0 le x le 4 right}]인 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[정답] (1) 최댓값 : [eqn: 243,]   최솟값 : [eqn: 1over81`]

(2) 최댓값 : [eqn: -2,]   최솟값 : [eqn: -3`]

(1) [eqn: y=3^{x^2 -6x+5}]	(2) [eqn: y=log_{ 1 over 2} `(-x^2 +4x+4)]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: |`5^x -25`|=k]가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: 0<k<25`]

방정식 [eqn: |`5^x -25`|=k]에서

[eqn: 5^x -25=-k`] 또는 [eqn: 5^x -25=k`]

[eqn: 5^x =25-k`] 또는 [eqn: 5^x =25+k`]

이때 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: 25 -k >0,~25+k>0,~k>0`]

[eqn: therefore~0<k<25`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식 [eqn: x^2 +2x` log_2 `a+4` log_2 `a-3>0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[정답] [eqn: 2<a<8`]

어느 공장에서 생산되는 보조 배터리의 초기 불량률은 [eqn: 12.8 ``]%이었다. 매주 불량률을 절반으로 감소시킬 때, 보조 배터리의 불량률이 처음으로 [eqn: 0.1``]% 이하가 되는 것은 몇 주 후인지 구하시오.

[정답] [eqn: 7`]주

함수 [eqn: y=2^x]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rmbarAB =2 root10]이고, 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: 3]이다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: a], [eqn: b]일 때, [eqn: 2^a +2^b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a<b])

[정답] [eqn: 10`]

[발전]

오른쪽 그림은 두 함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x], [eqn: y=log_2 `x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]를 나타낸 것이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

[정답] ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. [eqn: left( 1 over 2 right)^d =c`]

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: left( 1 over 2 right)^d = 2^ -d =c`]

또, [eqn: log_2 `e =d`]이므로   [eqn: e=2^d `]

따라서 [eqn: ce= 2^-d times 2^ d = 2^0 =1`]

ㄷ. [eqn: left( 1over2 right)^a = 2^-d =e`]

ㄴ에서 [eqn: e=2^d `]이므로  [eqn: 2^-a = 2^d]

즉, [eqn: -a=d`]이므로  [eqn: a+d=0`]

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

(단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.)

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: left( 1 over 2 right)^d =c] ㄴ. [eqn: ce=1] ㄷ. [eqn: a+d=0]

정의역이 [eqn: left{x`|`1 le x le 100 right}]인 함수 [eqn: y=2^{log`x}`x^{log`2} +2 times 2^{log`100x}]의 최댓값과 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] 최댓값 : [eqn: 48,]   최솟값 : [eqn: 9`]

주어진 함수를 변형하면

[eqn: y=2^{log`x}`x^{log`2} +2 times 2^{log`100x}]

[eqn: =left(2^{log`x}right)^2 +2 times 2^{2+log`x}]

[eqn: =left(2^{log`x}right)^2 +8 times 2^{log`x}]	[eqn: cdots cdots`]①

이때 [eqn: 2^{log`x} =X`]로 놓으면 [eqn: 1 le x le 100`]이므로

[eqn: 1 le X le 4`]

①에서

[eqn: y= X`^2 +8X = (X+4)^2 -16`]

이므로 주어진 함수는 [eqn: X=1`]일 때 최솟값 [eqn: 9,] [eqn: X=4`]일 때 최댓값 [eqn: 48`]을 갖는다.

세라믹 재료 [eqn: A]에 대한 실험을 시작한 지 [eqn: t_1]초 후, [eqn: t_2]초 후의 측정 온도를 각각 [eqn: T_1 ` `℃], [eqn: T_2 ` `℃]라 할 때, [eqn: A]의 열전도 계수 [eqn: K]는 다음과 같다고 한다.

[정답] [eqn: 80`]초 후

실험을 시작한 지 [eqn: 10`]초 후에 [eqn: 200` CENTIGRADE,] [eqn: 20`]초 후에 [eqn: 202` CENTIGRADE`]

이므로

[eqn: K= {C(log`20-log`10)} over {202-200} = {C`log`2} over {2} `]	[eqn: cdots cdots`]①

또, 실험을 시작한 지 [eqn: 10`]초 후에 [eqn: 200` CENTIGRADE,] [eqn: x`]초 후에

[eqn: 206` CENTIGRADE]이므로

[eqn: K= {C(log`x-log`10)} over {206-200} = {C`(log`x-1)} over {6} `]	[eqn: cdots cdots`]②

①, ②에서  [eqn: {log`2}over 2 = {log`x-1}over 6`]

[eqn: log`x-1=3log`2`]

[eqn: log`x=1+3log`2 = log`80`]

[eqn: x=80`]

따라서 [eqn: 206` CENTIGRADE`]가 되는 것은 [eqn: 80`]초 후이다.

[eqn: K={C(log`t_2 -log`t_1 )} over {T_2 -T_1 }]([eqn: C]는 양수)

이 실험을 시작한 지 [eqn: 10]초 후, [eqn: 20]초 후의 측정 온도가 각각 [eqn: 200`` ℃], [eqn: 202``℃]일 때, 측정 온도가 [eqn: 206``℃]가 되는 때는 실험을 시작한 지 몇 초 후인지 구하시오.(단, 열전도 계수는 일정하다.)

대단원 평가하기

[eqn: -4]의 세제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: a], [eqn: root16]의 네제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

다음 중 옳은 것은?

[정답] ②

① [eqn: root3 of7 times root4 of7 = root7 of7]	② [eqn: root3 of{-root64} =-2]

③ [eqn: root3 of{root4 of8}= root12 of2]	④ [eqn: {root3 of-25} over{root3 of-2} = root3 of{ - 25 over2]

⑤ [eqn: left( root3 of5 times 1over root5 right)^6 = 5]

[eqn: 4^x =3]일 때, [eqn: {8^x -8^-x } over {2^x -2^-x }]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13over3`]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: ab=5], [eqn: a=25^{ 1overx}], [eqn: b = 5^{ 2overy}]
일 때, [eqn: 1overx + 1 overy]의 값을 구하시오. (단, [eqn: xy!=0])

[정답] [eqn: 1over2 `]

[eqn: x=2^{ 1over3} +2^{- 1over3 }]일 때, [eqn: 2x^3 -6x-4]의 값은?

[정답] ①

[eqn: x=2^{ 1over3} +2^{- 1over3 }`]의 양변을 세제곱하면

[eqn: x^3 = left(2^{ 1over3} +2^{- 1over3 } right)^3 `]

[eqn: = 2 + 2^-1 +3 times 2 ^{1over3} times 2^{- 1over3 } left( 2^{1over3} + 2^{- 1over3} right)`]

[eqn: =3x+ 5over2 `]

즉, [eqn: x^3 -3x = 5over2 `]이므로

[eqn: 2x^3 -6x-4= 2(x^3 -3x)-4 = 2 times 5over2 -4 =1`]

따라서 구하는 값은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2 times 2^{ 1over3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 times 2^{ 1over3}]	⑤ [eqn: 5]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 81^a times 27^b =7]일 때, [eqn: 4a+3b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: log_3 `7`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log_3 `(x^2 `+ax+a+3)]이 정의되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[정답] [eqn: -2<a<6`]

[eqn: (log_2 `9+log_root3 `2)^2 -(log_2 `9-log_root3 `2)^2]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 16`]

[eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: 1 over{log_2 `x} + 1 over{ log_3 `x }+ 1 over {log_5 `x} = 1 over{log_a `x}]
일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 30`]

[eqn: log`3=a], [eqn: log`5=b]일 때, [eqn: log_15 `50]을 [eqn: a], [eqn: b]에 대한 식으로 나타내면?

[정답] ⑤

① [eqn: 1-b over a-b]	② [eqn: 1+b over a-b]	③ [eqn: a-b over a+b]

④ [eqn: 1-b over a+b]	⑤ [eqn: 1+b over a+b]

함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^x]의 그래프 위의 서로 다른 세 점
[eqn: rmA][eqn: (p,~ a)], [eqn: rmB][eqn: (-q,~ b)], [eqn: rmC][eqn: (-p-q,~ c)]
에 대하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 사이의 관계를 식으로 나타내시오.

[정답] [eqn: b=ac`]

함수 [eqn: f(x)=3^x]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

[정답] ㄱ, ㄴ, ㄷ

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: f(-x)= 1 over f(x)] ㄴ. [eqn: f(x+y)= f(x) f(y)] ㄷ. [eqn: f(3x)=left{ f(x) right}^3]

오른쪽 그림과 같이 두 함수
[eqn: y=2^x], [eqn: y=4^x]의 그래프와 직선 [eqn: y=4]와의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 2`]

함수 [eqn: y=9^x]의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 있는 그래프의 식만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

[정답] ㄱ, ㄴ, ㄹ

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: y=9^-x] ㄴ. [eqn: y=3^2x-1] ㄷ. [eqn: y=3^3x+1] ㄹ. [eqn: y=9^x+2 -1]

함수 [eqn: y=left( 1 over 2 right)^{x^2 -2x+a}]의 최댓값이 [eqn: 16]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: -3`]

함수 [eqn: f(x)=log_2 `x]에 대하여 [eqn: f(b)- f(a)=3]일 때, [eqn: b overa]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 8`]

다음 중 함수 [eqn: y=log_3 `(3-x)+2]에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

[정답] ⑤

① 정의역은 [eqn: left{x`|`x<3 right}]이다.

② [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.

③ 그래프의 점근선은 직선 [eqn: x=3]이다.

④ 그래프는 점 [eqn: (2,~ 2)]를 지난다.

⑤  그래프는 함수 [eqn: y=log_3 `x]의 그래프를 평행이동하면 겹쳐진다.

다음 중에서 세 수 [eqn: A=-2` log_2 ` 1over9], [eqn: B=4+log_2 `5],
[eqn: C=2+2` log_2 `5]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

[정답] ③

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]

③ [eqn: B<A<C]	④ [eqn: C<A<B]

⑤ [eqn: C<B<A]

오른쪽 그림은 두 함수 [eqn: y=3^x], [eqn: y=log_3 `x]의 그래프이다.
[eqn: y=log_3 `x]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA]의 좌표가 [eqn: (a,~ b)]일 때, [eqn: log_3 `ab]의 값을 구하시오. (단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.)

[정답] [eqn: 4`]

직선 [eqn: y=f(x)]와 곡선 [eqn: y=]g[eqn: (x)]가 다음 그림과 같을 때, 부등식 [eqn: left( 1 over 2 right)^f(x) <left( 1 over 2 right) ^{`g`(x)]의 해를 구하시오.

[정답] [eqn: -2<x<1`]

어느 기업에서 올해 기업의 부채가 자기 자본의 [eqn: 3]배에 이르자, 내년부터 매년 부채를 전년도에 비해 [eqn: 10``]%씩 줄이고, 자기 자본은 [eqn: 20``]%씩 늘리는 계획을 세웠다.
이 계획대로 진행될 때, 이 기업의 자기 자본이 처음으로 부채보다 많아지는 해는 올해로부터 몇 년 후인지 구하시오.

[정답] [eqn: 4`]년 후

올해 기업의 자기 자본을 [eqn: A`]원이라 하면

[eqn: n`]년 후의 부채는

[eqn: 3A left( 1- 10 over100 right)^n = 3A times 0.9^n `](원)

[eqn: n`]년 후의 자기 자본은

[eqn: A LEFT ( 1+ {20} over {100} RIGHT ) ^{n} =A TIMES 1.2 ^{n} `](원)

이때 자기 자본이 부채보다 많아지려면

[eqn: 3A times 0.9 ^n < A times 1.2^n `,]  [eqn: 3 times 0.9 ^n < 1.2^n `]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log`3 + n log`0.9 < n log`1.2`]

[eqn: n(2log`2- log3)>log`3`]

[eqn: n> {log`3} over{2log`2- log3}`]

이때 [eqn: log 2 = 0.3010,~log`3=0.4771`]이므로

[eqn: n> {0.4771}over{2 times 0.3010 - 0.4771} = {0.4771}over{0.1249} = 3. timestimestimes`]

따라서 자기 자본이 처음으로 부채보다 많아지는 해는 올해로부터 [eqn: 4`]년 후이다.

(단, [eqn: log`2=0.3010], [eqn: log`3=0.4771]로 계산한다.)

[eqn: 3^x =4^y =12^x]일 때, [eqn: 1 overx + 1overy - 1overz]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 0`]

[eqn: 3^x =4^y =12^x =k`(k>0)`]라 하면

[eqn: 3^x =k`]에서 [eqn: 3= k ^{1over x }`]	[eqn: cdots cdots`]①

[eqn: 4^y =k`]에서 [eqn: 4= k ^{1over y }`]	[eqn: cdots cdots`]②

[eqn: 12^z =k`]에서 [eqn: 12= k ^{1over z }`]	[eqn: cdots cdots`]③

①[eqn: times]②[eqn: div]③을 하면

[eqn: k^{1over x + 1 over y + 1over z} = 3 times 4 div 12 =1`]

이므로 [eqn: 1 overx + 1overy - 1overz =0`]

(단, [eqn: xyz!=0])

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^4 b^2 `=1]일 때, [eqn: log_a `a^3 b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a!=1])

[정답] [eqn: 1`]

[eqn: a^4 b^2 `=1`]의 양변에 [eqn: a`]를 밑으로 하는 로그를 취하면

[eqn: log_a `a^4 b^2 =log_a `1,]  [eqn: log_a `a^4 + log_a `b^2 =0`]

[eqn: 4+2log_a `b=0`]

[eqn: log_a `b=-2`]

[eqn: log_a `a^3 b = log_a `a^3 + log_a `b`]

[eqn: =3+log_a `b`]

[eqn: =3-2 = 1`]

다음 그림은 두 함수 [eqn: y=2^x-3], [eqn: y=2 `log_2 `x]의 그래프이다. [eqn: rmbarAB =2], [eqn: rmbarBC =2]일 때, 물음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: 2,~4`]   (2) [eqn: 3`]

(1) 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 하면 [eqn: rm bar AB =2 , ~bar BC =2 `]이므로

[eqn: rm A it (a,``2log_2 `a),~rm B it (a+2,``2log_2 `a),]

[eqn: rm C it (a+2,``2log_2 `a +2)`]

이때 점 [eqn: rm C`]는 함수 [eqn: y=2log_2 `x`]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 2log_2 `a+2 = 2log_2 (a+2)`]

[eqn: log_2 `4a^2 = log_2 (a+2)^2`]

[eqn: 4a^2 = a^2 +4a+4`]

[eqn: 3a^2 -4a -4=0`]

[eqn: (3a+2)(a-2)=0`]

[eqn: a= - 2over3 `] 또는 [eqn: a=2`]

그런데 [eqn: a>0`]이므로

[eqn: a=2`]

따라서 두 점 [eqn: rm A,~B`]의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: 2,~4`]이다.

(2) [eqn: rm A(2,~2),~B(4,~2),~C(4,~4),~D(5,~4)`]이므로

[eqn: □ rm ABCD= TRIANGLE ABC + TRIANGLE BCD`]

[eqn: = 1over2 times 2 times 2 + 1over2 times 2 times 1`]

[eqn: = 2+1=3`]

(단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.)

(1) 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 구하시오.

(2) 사각형 [eqn: rmABDC]의 넓이를 구하시오.

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: (log`a+3)x^2 `-2 (log`a+1)x+1=0]
이 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[정답] [eqn: 0<a< 1over 1000`] 또는 [eqn: 1over 1000 < a le 1over100`] 또는 [eqn: a ge 10`]

주어진 이차방정식에서

[eqn: log`a +3 != 0`]

[eqn: a != 1over1000`]	[eqn: cdots cdots`]①

이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D/4 = (log`a +1)^2 - (log`a+3)=0`]

[eqn: (log`a)^2 + log`a -2 ge0`]

[eqn: log`a = X`]라 하면

[eqn: X`^2 +X-2 ge 0`]

[eqn: (X+2)(X-1) ge 0`]

[eqn: X le -2`] 또는 [eqn: X ge 1`]

즉, [eqn: log`a le -2`] 또는 [eqn: log`a ge 1`]이므로

[eqn: a le 1 over100`] 또는 [eqn: a ge 10`]	[eqn: cdots cdots`]②

한편, 진수의 조건에서

[eqn: a>0`]	[eqn: cdots cdots`]③

①, ②, ③에서

[eqn: 0<a< 1over 1000`] 또는 [eqn: 1over 1000 < a le 1over100`] 또는 [eqn: a ge 10`]

				미래앤 수학1

삼각함수

2-1-1. 일반각과 호도법

[생각 열기]

오른쪽 시계는 [eqn: 7]시 정각을 가리키고 있다.

[정답] ❶ 시곗바늘이 도는 방향으로 [eqn: 60°`]만큼 회전시켜야 한다.

❷ 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로 [eqn: 120°`]만큼 회전시켜야 한다.

➊ 이 시계가 [eqn: 7]시 [eqn: 10]분을 가리키려면 분침을 어느 방향으로 몇 도만큼 회전시켜야 하는지 말해 보자.

➋ 이 시계가 [eqn: 6]시 [eqn: 40]분을 가리키려면 분침을 어느 방향으로 몇 도만큼 회전시켜야 하는지 말해 보자.

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을 [eqn: 360° times n+alpha°]의 꼴로 나타내시오. (단, [eqn: n]은 정수이고, [eqn: 0° le alpha°<360°]이다.)

[정답] (1) [eqn: 360° times n +20°`]     (2) [eqn: 360° times n +250°`]

(3) [eqn: 360° times n +70°`]     (4) [eqn: 360° times n +100°`]

(1) [eqn: 20°]	(2) [eqn: 610°]

(3) [eqn: -290°]	(4) [eqn: -1700°]

크기가 다음과 같은 각은 어느 사분면의 각인지 말하시오.

[정답] (1) 제[eqn: 3]사분면     (2) 제[eqn: 2]사분면

(3) 제[eqn: 4]사분면     (4) 제[eqn: 1]사분면

(1) [eqn: 560°]	(2) [eqn: 1180°]	(3) [eqn: -25°]	(4) [eqn: -310°]

다음에서 육십분법으로 나타낸 각은 호도법으로, 호도법으로 나타낸 각은 육십분법으로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: pi over6]     (2) [eqn: - 3over4 pi`]     (3) [eqn: 90°`]     (4) [eqn: -120°`]

(1) [eqn: 30°]     (2) [eqn: -135°]     (3) [eqn: pi over2]     (4) [eqn: - 2 over 3 pi]

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을 [eqn: 2n pi+][eqn: theta]의 꼴로 나타내시오. (단, [eqn: n]은 정수이고, [eqn: 0 le][eqn: theta][eqn: <2pi]이다.)

[정답] (1) [eqn: 2n pi+pi`]     (2) [eqn: 2n pi+ 3over2 pi`]

(3) [eqn: 2n pi+ pi over 3`]    (4) [eqn: 2n pi+ 4over5 pi`]

(1) [eqn: 7pi]     (2) [eqn: 11 over2 pi]     (3) [eqn: - 5 over3 pi]     (4) [eqn: - 16 over5 pi]

반지름의 길이가 [eqn: 6], 중심각의 크기가 [eqn: pi over3]인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.

[정답] 호의 길이 : [eqn: 2pi,]    넓이 : [eqn: 6pi`]

호의 길이가 [eqn: pi], 넓이가 [eqn: 2pi]인 부채꼴의 반지름의 길이와 중심각의 크기를 구하시오.

[정답] 반지름의 길이 : [eqn: 4,]    중심각의 크기 : [eqn: pi over4 `]

[생각 넓히기]

올림픽 육상 경기 중에서 창던지기, 해머던지기, 원반던지기, 포환던지기 등은 필드에서 하는 경기이다.

[정답] (1) [eqn: 29over180 pi`]     (2) [eqn: 7250 over 9 pi ``rm m^2]

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm100``m], 중심각의 크기가 [eqn: 29°]인 부채꼴 모양의 창던지기 경기장이 있다.

(1) [eqn: 29°]를 호도법으로 나타내어 보자.

(2) 창던지기 경기장에서 부채꼴 모양의 넓이를 구해 보자.

2-1-2. 삼각함수

[생각 열기]

오른쪽 그림에서 [eqn: rm△ ABC]와
[eqn: rm△ ADE]는 모두 직각삼각형이고, [eqn: rm∠A]가 공통이므로 서로 닮은 도형이다.

[정답]

	[eqn: rm△ ABC]	[eqn: rm△ ADE]
① [eqn: sin`][eqn: theta]	[eqn: a over c`]	[eqn: a over c`]
② [eqn: cos`][eqn: theta]	[eqn: b over c`]	[eqn: b over c`]
③ [eqn: tan`][eqn: theta]	[eqn: a over b`]	[eqn: a over b`]

[eqn: rm∠A=][eqn: theta]라 할 때, 다음 표를 완성해 보자.

	[eqn: rm△ ABC]	[eqn: rm△ ADE]
① [eqn: sin`][eqn: theta]
② [eqn: cos`][eqn: theta]
③ [eqn: tan`][eqn: theta]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP(3,~ -4)]를 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta], [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: sin``theta][eqn: = - 4over5], [eqn: cos``theta][eqn: = 3over 5], [eqn: tan``theta][eqn: =- 4over3]

오른쪽 그림에서

[eqn: rmbarOP = root{3^2 +(-4)^2} =5]

이므로

[eqn: sin``theta][eqn: = -4 over 5 =- 4 over 5]

[eqn: cos``theta][eqn: = 3over 5]

[eqn: tan``theta][eqn: = -4 over 3 =- 4over3]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP(-root3 ,~ 1)]을 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta], [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: sin``theta = 1over2], [eqn: cos``theta = - root3 over 2], [eqn: tan``theta = - root3 over3]

[eqn: theta][eqn: = 4over3 pi]일 때, [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta], [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: sin``theta][eqn: =- root3 over 2], [eqn: cos``theta][eqn: =- 1 over 2], [eqn: tan``theta][eqn: = root3]

오른쪽 그림과 같이 각 [eqn: 4over3 pi]를 나타내는 동경과 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 교점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: rm△OHP]에서 [eqn: rmbarOP =1]이고 [eqn: rm∠POH= pi over3]이므로

[eqn: rmbarOH =barOP `cos` pi over3 = 1 over 2],  [eqn: rmbarPH =barOP `sin` pi over3 = root3 over 2]

이때 점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 3]사분면 위의 점이므로

[eqn: rmP left( - 1over2 ,~ - root3 over2 right)]

따라서 삼각함수의 정의에 의하여

[eqn: sin``theta][eqn: =- root3 over 2],  [eqn: cos``theta][eqn: =- 1 over 2],  [eqn: tan``theta][eqn: = root3]

각 [eqn: theta]가 다음과 같을 때, [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta], [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: sin 5over6 pi = 1over2 ,~cos 5over6 pi = - root3 over2 , ~tan 5over 6 pi = - root3 over3`]

(2) [eqn: sin {7} over {4} pi = -{root2} over {2} ,~cos {7} over {4} pi = {sqrt {2}} over {2} ,~tan {7} over {4} pi =-1`]

(3) [eqn: sin 420° = root3 over2 ,~ cos 420° = 1over2 ,~tan 420° = root3 `]

(1) [eqn: 5 over 6 pi]	(2) [eqn: 7over4 pi]	(3) [eqn: 420°]

각 [eqn: theta]가 다음과 같을 때, [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta], [eqn: tan``theta]의 값의 부호를 말하시오.

[정답] (1) [eqn: sin 200° <0,~cos200°<0,~tan200°>0`]

(2) [eqn: sin 430° >0,~cos430°>0,~tan430°>0`]

(3) [eqn: sin 11over6 pi <0 ,~cos 11over6 pi >0,~tan 11over6 pi <0`]

(4) [eqn: sin left( - 4over3 pi right)>0,~cos left( - 4over3 pi right)<0,~tan left( - 4over3 pi right)<0`]

(1) [eqn: 200°]	(2) [eqn: 430°]

(3) [eqn: 11 over6 pi]	(4) [eqn: - 4over3 pi]

다음을 만족시키는 [eqn: theta]는 어느 사분면의 각인지 말하시오.

[정답] (1) 제[eqn: 1]사분면 또는 제[eqn: 3]사분면

(2) 제[eqn: 2]사분면 또는 제[eqn: 3]사분면

(1) [eqn: sin``theta][eqn: `cos``theta][eqn: >0]	(2) [eqn: sin``theta][eqn: `tan``theta][eqn: <0]

[eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각이고 [eqn: sin`` theta][eqn: = {4} over {5}]일 때, [eqn: cos`` theta]와 [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: cos``theta][eqn: =- 3over5], [eqn: tan``theta][eqn: =- 4over3]

[eqn: sin^2 ` theta+cos^2 ` theta=1]이므로

[eqn: cos^2 ` theta=1-sin^2 ` theta=1- left( 4over 5 right)^2 = left( 3 over5 right)^2]

그런데 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이므로    [eqn: cos ``theta<0]

따라서 [eqn: cos``theta][eqn: =- 3over5]이다.

한편, [eqn: tan``theta={ sin`` theta} over {cos ``theta}]이므로

[eqn: tan``theta][eqn: =- 4over3]

[eqn: theta]가 제[eqn: 4]사분면의 각이고 [eqn: cos`` theta][eqn: = {1} over {3}]일 때, [eqn: sin`` theta]와 [eqn: tan``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: sin theta = - {2root2}over3 ,~ tan theta = -2root2`]

[eqn: sin ``theta+cos ``theta= 1over3]일 때, [eqn: sin ``theta`cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: - 4 over 9]

[eqn: sin ``theta+cos ``theta= 1over3]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 ` theta+2 sin ``theta`cos ``theta+cos^2 ` theta= 1 over9]

이때 [eqn: sin^2 ` theta+cos^2 ` theta=1]이므로

[eqn: 1+2 sin ``theta cos ``theta= 1 over9]

에서    [eqn: sin ``theta `cos ``theta=- 4 over 9]

[eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각이고 [eqn: sin ``theta-cos ``theta= root3 over 3]일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1over3`]     (2) [eqn: root15 over 3 `]

(1) [eqn: sin ``theta`cos ``theta]	(2) [eqn: sin ``theta+cos ``theta]

[탐구융합]	입사각과 굴절각
	문제 해결 | 창의 · 융합 | 태도 및 실천

“놓친 물고기가 더 커 보인다.”라는 말이 있다. 실제로, 물속에 있을 때는 크게 보였던 물체가 물 밖에서는 생각만큼 크지 않은 경우를 종종 보게 되는데, 이는 공기와 물의 굴절률이 다르기 때문이다.

빛의 굴절 현상 때문에 물이 들어 있는 컵에 빨대를 비스듬히 넣으면 빨대가 꺾인 것처럼 보이고, 물에 반쯤 잠긴 펭귄은 물 위보다 아래가 더 커 보인다. 사막의 신기루 또한 빛의 굴절 현상으로 일어난다.

네덜란드의 수학자이자 천문학자인 스넬(Snell, W. R., [eqn: 1580]~[eqn: 1626])은 [eqn: 1621]년에 빛이 서로 다른 두 물질을 지날 때 다음과 같은 법칙이 성립함을 발견했다.

빛이 [eqn: rmA] 물질에서 [eqn: rmB] 물질로 입사할 때 빛의 입사각을 [eqn: theta_1], 굴절각을 [eqn: theta_2]라 하고, 두 물질 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 굴절률을 각각 [eqn: n_1], [eqn: n_2]라 하면

[eqn: {sin`` theta_1 } over {sin`` theta_2 } = n_2 over n_1]

가 성립한다. 이때 [eqn: n_2 over n_1]는 상수이므로 [eqn: {sin`` theta_1 } over {sin`` theta_2 }]의 값 또한 각의 크기에 관계없이 일정하다. (출처: 두산백과, 2016)

공기의 굴절률은 [eqn: 1], 물의 굴절률은 [eqn: 4over3]이다. 빛이 공기에서 물로 입사하고 [eqn: sin``theta_1 = 2 over 3]일 때, [eqn: sin``theta_2]의 값을 구해 보자.

[정답] [eqn: 1over2`]

빛이 공기에서 어떤 물질로 입사할 때의 입사각이 [eqn: pi over 15], 굴절각이 [eqn: pi over 30]라 할 때, 공기에 대한 이 물질의 상대 굴절률 [eqn: n_2 over n_1]의 값을 구해 보자. [eqn: left( pile{ `#` }]단, [eqn: sin` pi over 15 =0.21], [eqn: sin `pi over 30 =0.10]으로 계산한다.[eqn: pile{ `#` }RIGHT)]

[정답] [eqn: 2.1`]

2-1-3. 삼각함수의 그래프

[생각 열기]

놀이공원의 대관람차가 회전하면 곤돌라의 위치는 시시각각으로 변한다. 다음 그림과 같이 대관람차가 회전할 때 한 곤돌라의 위치를 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: CDOTS]로 나타내어, 곤돌라의 위치와 그 지점에서의 높이 사이의 관계를 알아보자.

[정답] ➊

➋ (예시) 매끄러운 곡선 모양, 일정한 규칙이 있는 모양,

파동 모양

➊ 위의 그림에서 각 지점에서의 곤돌라의 높이를 그래프 위의 점으로

나타내고, 이 점들을 곡선으로 연결해 보자.

➋ ➊의 곡선은 어떤 모양인지 말해 보자.

함수 [eqn: y=2`` sin``x]의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: -2 le 2`` sin ``x le 2]이므로 치역은 [eqn: left{ y`|`-2 le y le 2 right}]이다.
또, [eqn: 2 ``sin`` x=2 sin (x+2pi)]이므로 함수 [eqn: y=2`` sin ``x]의 주기는 [eqn: 2pi]이고, 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 [eqn: y= 1 over 2 ` cos`` x]의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 치역 : [eqn: left{y`` left|`` - 1over2 le y le 1over2 right},] 주기 : [eqn: 2pi`]

함수 [eqn: y=cos``2x]의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: -1 le cos`` 2x le 1]이므로 치역은

[eqn: left{ y`|`-1 le y le 1 right}]

또, [eqn: cos`` 2x=cos (2x+2pi)=cos`` 2(x+pi)]이므로 함수 [eqn: y=cos ``2x]의 주기는 [eqn: pi]이고, 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 [eqn: y=sin` x over3]의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 치역 : [eqn: left{y`` left|`` - 1 le y le 1 right},] 주기 : [eqn: 6pi`]

함수 [eqn: y= sin left(x- pi over6 right) +1]의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: -1 le sin left(x- pi over 6 right) le 1]에서 [eqn: 0 le sin left(x- pi over6 right)+1 le 2]이므로 치역은

[eqn: left{y`|`0 le y le 2 right}]

[eqn: y= sin left(x- pi over6 right) +1]의 그래프는 [eqn: y=sin ``x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi over 6]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이므로 주기는 [eqn: 2pi]이고, 그래프는 다음 그림과 같다.

다음 함수의 치역과 주기를 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답]

(1) 치역 : [eqn: LEFT { y`` LEFT | ``-2 LEQ y LEQ 0 RIGHT } , RIGHT .] 주기 : [eqn: 2 pi `]

(2) 치역 : [eqn: LEFT { y`` LEFT | ``0 LEQ y LEQ 1 RIGHT } , RIGHT .] 주기 : [eqn: pi `]

(1) [eqn: y= cos left(x- pi over3 right)-1]

(2) [eqn: y= 1 over 2 `sin ``2x+ 1 over 2]

삼각함수의 그래프를 이용하여 다음이 성립함을 확인하시오.

[정답]

(1) [eqn: y=sin(pi-x)= sin left{-(x-pi)right}`]이므로

[eqn: y=sin(pi-x)`]의 그래프는 [eqn: y=sinx`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: pi`]만큼 평행이동한 것이다.

이때 [eqn: y=sin(pi-x)`]의 그래프와 [eqn: y=sinx`]의 그래프가 일치하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: sin(pi-x)= sin x`]가 성립한다.

(2) [eqn: y=cos(pi-x)= cos left{-(x-pi)right}`]이므로

[eqn: y=cos(pi-x)`]의 그래프는 [eqn: y=cosx`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: pi`]만큼 평행이동한 것이다.

이때 [eqn: y=cos(pi-x)`]의 그래프와 [eqn: y=-cosx`]의 그래프가 일치하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: cos(pi-x)= -cos x`]가 성립한다.

(1) [eqn: sin `(pi-x)=sin`` x]	(2) [eqn: cos` (pi-x)=-cos ``x]

삼각함수의 그래프를 이용하여 다음이 성립함을 확인하시오.

[정답]

(1) [eqn: y=sin left( pi over2 -x right)= sin left{- left(x- pi over2 right) right}`]이므로

[eqn: y=sin left( pi over2 -x right)`]의 그래프는 [eqn: y=sinx`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: pi over2 `]만큼 평행이동한 것이다.

이때 [eqn: y=sin left( pi over2 -x right)`]의 그래프와 [eqn: y=cosx`]의 그래프가 일치하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: sin left( pi over2 -x right)= cosx]가 성립한다.

(2) [eqn: y=cos left( pi over2 -x right)= cos left{- left(x- pi over2 right) right}`]이므로

[eqn: y=cos left( pi over2 -x right)`]의 그래프는 [eqn: y=cosx`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: pi over2 `]만큼 평행이동한 것이다.

이때 [eqn: y=cos left( pi over2 -x right)`]의 그래프와 [eqn: y=sinx`]의 그래프가 일치하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: cos left( pi over2 -x right)= sinx]가 성립한다.

(1) [eqn: sin left( pi over 2 -x right)=cos`` x]	(2) [eqn: cos left( pi over 2 -x right )=sin ``x]

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1over2`]   (2) [eqn: - 1over2`]   (3) [eqn: - root3 over2 `]   (4) [eqn: - root2 over 2`]

(1) [eqn: sin` 5 over 6 pi]	(2) [eqn: cos ` 4over3 pi]	(3) [eqn: sin left(- 2 over 3 pi right)]	(4) [eqn: cos ` 3 over4 pi]

함수 [eqn: y=tan``2x]의 주기와 점근선을 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: tan ``2x=tan `(2x+pi)]

[eqn: =tan`` 2 left(x+ pi over 2 right)]

이므로 함수 [eqn: y=tan ``2x]의 주기는 [eqn: pi over2]이다.

또, 점근선은 직선

[eqn: x= n over 2 pi+ pi over 4] ([eqn: n]은 정수)

이고, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

다음 함수의 주기와 점근선을 구하고, 그래프를 그리시오.

[정답]

(1) 주가 : [eqn: 2pi,] 점근선 : [eqn: x=(2n+1)pi `] ([eqn: n`]은 정수)

(2) 주가 : [eqn: pi over2 ,] 점근선 : [eqn: x= n over2 pi `] ([eqn: n`]은 정수)

(1) [eqn: y=tan`` x over 2]

(2) [eqn: y= tan `left(2x- pi over 2 right)]

삼각함수표를 이용하여 다음 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 0.5736`]     (2) [eqn: -0.9903`]     (3) [eqn: -3.7321`]

(1) [eqn: sin `755°]	(2) [eqn: cos 172°]

(3) [eqn: tan` (-435°)]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin ``x= root3 over 2]을 푸시오.

[정답] [eqn: x= pi over 3] 또는 [eqn: x= 2 over 3 pi]

주어진 방정식의 해는 함수

[eqn: y=sin `x`(0 le x<2pi)]의 그래프와 직선 [eqn: y= root3 over 2]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

따라서 구하는 해는

[eqn: x= pi over 3] 또는 [eqn: x= 2 over 3 pi]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x= pi over 4 `] 또는 [eqn: x= 7 over4 pi`]  (2) [eqn: x= {pi } over {6} `] 또는 [eqn: x= {7} over {6} pi `]

(1) [eqn: cos` x= root2 over 2]	(2) [eqn: tan`` x= root3 over 3]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 부등식 [eqn: cos ``x< 1 over 2]을 푸시오.

[정답] [eqn: pi over3 <x< 5 over 3 pi]

주어진 부등식의 해는
[eqn: y=cos`` x`(0 le x<2pi)]의 그래프가 직선 [eqn: y= 1 over 2] 보다 아래쪽에 있는 부분의 [eqn: x]의 값의 범위와 같다.

따라서 구하는 해는

[eqn: pi over3 <x< 5 over 3 pi]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: pi over6 < x< 5over6 pi`]

(2) [eqn: pi over2 < x le 3over4 pi `] 또는 [eqn: 3over 2 pi < x le 7 over4 pi`]

(1) [eqn: sin`` x> 1 over 2]	(2) [eqn: tan ``x le - 1]

중단원 마무리하기

[기본]

다음 각의 동경이 나타내는 일반각을 구하고, 어느 사분면의 각인지 말하시오.

[정답] (1) [eqn: 360° times n + 320°,] 제[eqn: 4]사분면

(2) [eqn: 2n pi + pi over6 ,] 제[eqn: 1]사분면

(1) [eqn: 1040°]	(2) [eqn: - 35 over6 pi]

반지름의 길이가 [eqn: 12], 넓이가 [eqn: 60pi]인 부채꼴의 호의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 10 pi`]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP(-1,~ 1)]을 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: root2 over2 `]     (2) [eqn: - root2 over 2`]     (3) [eqn: -1]

(1) [eqn: sin``theta]	(2) [eqn: cos``theta]	(3) [eqn: tan``theta]

[eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각이고 [eqn: sin ``theta `cos``theta=- 1 over 2]일 때,
[eqn: sin ``theta-cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: root2`]

다음 식을 간단히 하시오.
[eqn: sin left( pi over 2 + theta right)`cos (pi-theta)+cos left( pi over 2 +theta right) `sin``theta]

[정답] [eqn: -1`]

[표준]

[eqn: pi over 2 <theta<pi]이고 각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각 [eqn: 4theta]를 나타내는 동경이 일치할 때, 각 [eqn: theta]의 크기를 구하시오.

[정답] [eqn: 2over3 pi`]

오른쪽 그림과 같이 어느 자동차에 장착된 와이퍼를 작동하였더니, 길이가 [eqn: rm50``cm]인 와이퍼가 [eqn: 4over5 pi]만큼 부채꼴 모양으로 회전하였다. 이 와이퍼에서 유리를 닦는 고무판의 길이가 [eqn: rm40``cm]일 때, 와이퍼의 고무판이 회전하면서 닦은 유리창의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 960 pi` rm cm^2 `]

(단, 유리창은 한 평면 위에 있다.)

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: - 1over2 `]     (2) [eqn: root2 over2]     (3) [eqn: root3`]

(1) [eqn: sin ``330°]	(2) [eqn: cos``left( - pi over4 right)]	(3) [eqn: tan ` 4over3 pi]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: theta]는 어느 사분면의 각인지 말하시오.

[정답] (1) 제[eqn: 4]사분면     (2) 제[eqn: 2]사분면

(1) [eqn: cos``theta>0], [eqn: cos``theta` tan``theta<0]

(2) [eqn: sin``theta`cos ``theta<0], [eqn: sin ``theta`tan ``theta<0]

[eqn: theta]가 제[eqn: 3]사분면의 각일 때, 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: - 4over5 `]    (2) [eqn: - {2root13}over13`]

(1) [eqn: sin``theta=- 3over 5]일 때, [eqn: cos``theta]의 값

(2) [eqn: tan ``theta= 2 over 3]일 때, [eqn: sin``theta]의 값

[eqn: sin``theta][eqn: +][eqn: cos``theta][eqn: = root6 over2]일 때, [eqn: tan``theta][eqn: + 1 over{tan``theta}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.[eqn: left (pile{ `# `}]단, [eqn: 0<theta< pi over 2 } right)]

[정답] [eqn: 4`]

[eqn: tan theta = {sin theta}over{cos theta}`]이므로

[eqn: tan theta + 1over{tan theta} = {sin theta}over{cos theta} + {cos theta}over{sin theta}`][eqn: = {sin^2 theta + cos^2 theta}over{sin theta` cos theta}`][eqn: = 1over{sin theta` cos theta}`]

[eqn: sin theta + cos theta = root6 over2 `]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 theta + 2 sin theta cos theta + cos^2 theta = 3over2 `]

[eqn: 1+2 sin theta cos theta = 3over2 `]

[eqn: sin theta cos theta = 1over4 `]

따라서 구하는 값은

[eqn: tan theta + 1over{tan theta} = 1 over{sin theta ` cos theta} = 4`]

다음 함수의 주기와 최댓값, 최솟값을 구하시오.

[정답] (1) 주기 : [eqn: 2pi,] 최댓값 : [eqn: 3,] 최솟값 : [eqn: -3`]

(2) 주기 : [eqn: 8pi,] 최댓값 : [eqn: 3,] 최솟값 : [eqn: -1`]

(1) [eqn: y=3` sin left(x- pi over3 right)]	(2) [eqn: y=-2 `cos x over 4 +1]

어느 건물에서 휠체어를 이용하는 사람들을 위해 경사로를 만들려고 한다. 경사로의 경사도가 [eqn: 1 over19]이 되도록 할 때, 삼각함수표를 이용하여 지면과 경사로가 이루는 각의 크기가 약 몇 도인지 구하시오.

[정답] 약 [eqn: 3°`]

(단, 경사도는 수직 거리를 수평 거리로 나눈 값이다.)

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 다음 방정식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: x= pi over3 `] 또는 [eqn: x= 5over3 pi`]

(2) [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=pi`] 또는 [eqn: x= 5over4 pi`] 또는 [eqn: x= 7over4 pi`]

(1) [eqn: 2`` cos` x-cos^2 `x=sin^2 `x]	(2) [eqn: root2 ``sin^2 `x+sin`` x=0]

[eqn: - pi over 2 le x le pi over 2]일 때, 다음 부등식을 푸시오.

[정답] (1) [eqn: - pi over6 le x le pi over6`]    (2) [eqn: - {pi } over {3} LEQ x LEQ {pi } over {4} `]

(1) [eqn: - 1 over 2 le sin ``x le 1 over 2]	(2) [eqn: -root3 le tan`` x le 1]

[발전]

둘레의 길이가 [eqn: 16]인 부채꼴 중에서 그 넓이가 최대인 부채꼴의 중심각의 크기를 호도법으로 나타내시오.

[정답] [eqn: 2`]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r,] 호의 길이를 [eqn: l`]이라 하면

둘레의 길이가 [eqn: 16`]이므로

[eqn: 2r+l=16`]

즉, [eqn: l=16-2r`]이므로 부채꼴의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S=` {1} over {2} rl= 1over2 r (16-2r)`]

[eqn: =-r^2 +8r`]

[eqn: =-(r-4)^2 +16~(0<r<8)`]

따라서 [eqn: S`]는 [eqn: r=4`]일 때 최댓값 [eqn: 16`]을 가지므로 구하는 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: 1over2 times 4^2 times theta =16,`]  [eqn: theta =2`]

함수 [eqn: y=a`` cos` b(x-c)+d]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: abcd]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: pi`]

주어진 그래프에서 [eqn: y=a`` cos` b(x-c)+d`]의 최댓값은 [eqn: 3,] 최솟값은 [eqn: -1`]이고, 주기는

[eqn: 15over8 pi - left( - 5over8 pi right) = 5 over2 pi`]

[eqn: y=a`` cos` b(x-c)+d`]의 최댓값인 [eqn: a+d,] 최솟값이 [eqn: -a+d`]이므로

[eqn: a+d=3,~-a+d=-1`]

[eqn: a=2,~d=1`]

또, 주기가 [eqn: 5over2 pi`]이고, [eqn: b>0`]이므로

[eqn: 2pi over b = 5over2 pi,]    [eqn: b= 4over5`]

[eqn: y=2` cos` 4over 5 (x-c)+1`]의 그래프가 점 [eqn: (0,~1)`]을 지나므로

[eqn: 2 cos left( - 4over5 c right) +1=1`]

[eqn: cos left( - 4over5 c right) =0,`]   [eqn: cos 4over5 c =0`]

따라서 [eqn: 4over5 c = pi over2 `] 또는 [eqn: 4over5 c = 3over2 pi`]이므로

[eqn: c= 5over8 pi `] 또는 [eqn: c= 15over8 pi`]

그러데 [eqn: 0<c<pi`]이므로 [eqn: c= 5over8 pi`]

[eqn: a=2,~b= 4over5 ,~c= 5over8 pi,~d=1`]이므로

[eqn: abcd= 2times 4over5 times 5over8 pi times 1 =pi`]

(단, [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: 0<c<pi])

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 `-ax-a^2 `=0]의 두 근이 [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 모두 구하시오.

[정답] [eqn: - root3 over3 ,~ root3 over3`]

이차방정식  [eqn: x^2 `-ax-a^2 `=0]의 두 근이 [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: sin theta + cos theta =a,~sin theta cos theta= -a^2`]

[eqn: sin theta + cos theta =a`]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 theta + 2 sin theta cos theta + cos^2 theta =a^2 `]

[eqn: 1-2a^2 =a^2 ,]  [eqn: a^2 = 1over3 `]

[eqn: a= - root3 over 3 `] 또는 [eqn: a= root3 over 3`]

따라서 구하는 상수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: - root3 over3 ,~ root3 over3`]이다.

[eqn: sin^2 `1°+sin^2 `2°+sin^2 `3°+] [eqn: CDOTS] [eqn: +sin^2 `88°+sin^2 `89°]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 89over2`]

[eqn: sin(90° -theta) = sin left( pi over2 - theta right) = cos theta`]이므로

[eqn: sin 89° = sin (90°-1°) = cos 1°`]

[eqn: sin88°=sin(90°-2°)=cos2°`]

[eqn: sin87°=sin(90°-3°)=cos3°`]

[eqn: VDOTS `]

[eqn: sin46°=sin(90°-44°)=cos44°`]

따라서 구하는 값은

[eqn: sin^2 `1°+sin^2 `2°+sin^2 `3°+] [eqn: CDOTS] [eqn: +sin^2 `88°+sin^2 `89°]

[eqn: =(sin^2 1° +sin^2 89°)+(sin^2 2° +sin^2 88°)]

[eqn: +(sin^2 3° +sin^2 87°)+ `cdots`][eqn: +(sin^2 44° +sin^2 46°)+ sin^2 45°`]

[eqn: =(sin ^{2} 1°+cos ^{2} 1°)+(sin ^{2} 2°+cos ^{2} 2°)]

[eqn: +(sin ^{2} 3°+cos ^{2} 3°)+` CDOTS `][eqn: +(sin ^{2} 44°+cos ^{2} 44°)+sin ^{2} 45°`]

[eqn: =44 + 1over2 = 89 over2`]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 부등식 [eqn: cos``x<sin``x]를 푸시오.

[정답] [eqn: pi over 4 < x< 5over4 pi`]

부등식 [eqn: cos``x<sin``x`]의 해는 [eqn: y=sin x`]의 그래프가 [eqn: y=cos x`]의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 [eqn: x`]의 값의 범위와 같다.

따라서 위의 그림에서 구하는 부등식의 해는

[eqn: pi over 4 < x< 5over4 pi`]

2-2-1. 사인법칙

[생각 열기]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =8], [eqn: rmbarBC =10], [eqn: rm∠B=30°]인 [eqn: rm△ABC]가 있다.

[정답] ❶ [eqn: 4`]   ❷ [eqn: 20`]

➊ 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rmbarAH]의 길이를 구해 보자.

➋ [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구해 보자.

다음 [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 25ROOT2 `]     (2) [eqn: 2root3 `]

(1) [eqn: b=10], [eqn: c=10], [eqn: A=135°]	(2) [eqn: a=root3], [eqn: c=8], [eqn: B=150°]

삼각형의 두 변의 길이가 [eqn: rm12``cm], [eqn: rm9``cm]이고 넓이가 [eqn: rm27``cm^2]일 때, 두 변 사이의 끼인각의 크기를 구하시오.

[정답] [eqn: 30°`] 또는 [eqn: 150°`]

오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm△ABC]에서 [eqn: rmbarAB =9],
[eqn: rmbarAC =6], [eqn: rm∠BAC=120°]이다. [eqn: rm∠ A]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: rmbarAD]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 18 over5]

[eqn: rmbarAD][eqn: =x]라 하면 [eqn: rm△ABD+△ACD=△ABC]이므로

[eqn: 1 over 2 times 9x times sin ``60°+ 1 over 2 times 6x times sin`` 60°= 1 over 2 times 9 times 6 times sin ``120°]

[eqn: 15x=54],  [eqn: x= 18over 5]

오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm△ ABC]에서
[eqn: rmbarAB =3],  [eqn: rmbarAC =4],  [eqn: rm∠ BAD=∠ DAC=30°]
일 때, [eqn: rmbarAD]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: {12root3} over7`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=4], [eqn: A=45°], [eqn: B=60°]일 때, 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2root6] (2) [eqn: 2root2]

(1) 사인법칙에서 [eqn: a over{sin` A }= b over{sin` B}]이므로

[eqn: b= {a`` sin` B} over {sin` A} ={ 4` sin`` 60°} over {sin`` 45°} =2 root6]

(2) 사인법칙에서 [eqn: 2R= a over{sin` A}]이므로

[eqn: R= a over{2 `sin `A} = 4 over{2 `sin`` 45°}=2root2]

(1) [eqn: b]의 값	(2) 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R]

[eqn: rm△ABC]에서 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 3root6`]     (2) [eqn: 30°`]     (3) [eqn: root3`]

(1) [eqn: B=75°], [eqn: C=60°], [eqn: c=9]일 때, [eqn: a]의 값

(2) [eqn: a=1], [eqn: b=root2], [eqn: B=45°]일 때, 예각 [eqn: A]의 크기

(3) [eqn: A=45°], [eqn: B=75°], [eqn: c=3]일 때, 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: sin^2 `A=sin^2 `B+sin^2 `C]이면 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.

[정답] [eqn: A=90°]인 직각삼각형

[eqn: rm△ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에서

[eqn: sin `A= a over 2R],  [eqn: sin `B= b over 2R],  [eqn: sin `C= c over 2R]

그런데 [eqn: sin^2 ` A=sin^2 `B+sin^2 `C]이므로

[eqn: left( a over2R right)^2 =left( b over 2R right)^2 +left( c over 2R right)^2],  즉  [eqn: a^2 `=b^2 `+c^2 `]

따라서 [eqn: rm△ABC]는 [eqn: A=90°]인 직각삼각형이다.

다음을 만족시키는 [eqn: rm△ABC]는 어떤 삼각형인지 말하시오.

[정답] (1) [eqn: a=b`]인 이등변삼각형   (2) [eqn: C= 90°`]인 직각삼각형

(1) [eqn: a`` sin` A=b`` sin` B]	(2) [eqn: a ``sin` A+b`` sin` B=c ``sin` C]

오른쪽 그림과 같이 서영이가 한 지점에서 애드벌룬을 올려본각의 크기가 [eqn: 39°]이고, 이 지점에서 애드벌룬 쪽으로 [eqn: rm9``m]를 이동한 곳에서 애드벌룬을 올려본각의 크기가 [eqn: 51°]이다. 이때 애드벌룬의 높이는 몇 [eqn: rmm]인지 구하시오.
(단, 서영이의 눈높이는 [eqn: rm1.6``m]이고, [eqn: sin ``12°=0.21], [eqn: sin`` 39°=0.63], [eqn: sin`` 51°=0.78]로 계산한다.)

[정답] [eqn: rm22.66``m]

오른쪽 그림의 [eqn: rm△ABC]에서 [eqn: rm∠ACB=12°]이므로

사인법칙에 의하여    [eqn: 9 over{sin`` 12°}= {rm barBC } over{sin`` 39°}]

[eqn: rmbarBC ={9``sin`` 39°} over{sin`` 12°} =27]

[eqn: rm△CBD]에서 [eqn: rmbarCD =barBC `sin`` 51°]이므로

[eqn: rmbarCD =27 ``sin ``51°=21.06]

따라서 애드벌룬의 높이는

[eqn: rmbarCD +1.6=21.06+1.6=22.66]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA] 지점과 강 건너편의 [eqn: rmP] 지점을 잇는 직선 다리를 건설하려고 한다. [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rm20``m] 떨어진 [eqn: rmB] 지점에서 [eqn: rm∠PAB=75°], [eqn: rm∠PBA=60°]일 때, 다리의 길이 [eqn: rmbarAP]를 구하시오.

[정답] [eqn: 10root6 ` rm m`]

[생각 넓히기]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S], 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

[정답] ❶ (1) [eqn: b= 2R sin B`]     (2) [eqn: c= 2R sin C`]

(3) [eqn: S= 1over2 bc sin A`]

[eqn: = 1over 2 times 2 R sin B times 2R sin C times sin A`]

[eqn: =2R^2 sin A sin B sin C `]

❷ [예시] [eqn: S= abc over 4R`]

[eqn: S=2R^2 ` sin `A`sin B`sin `C]

가 성립한다.

❶ 다음 단계에 따라 위의 내용을 확인해 보자.
(1) 사인법칙을 이용하여 [eqn: b]를 [eqn: R]와 [eqn: sin`B]에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 사인법칙을 이용하여 [eqn: c]를 [eqn: R]와 [eqn: sin`C]에 대한 식으로 나타내시오.
(3) (1)과 (2)를 이용하여 [eqn: S=2R^2 `` sin A` sin B `sin `C]임을 확인하시오.

❷ 위의 내용 이외에 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: R]를 이용하여 나타내는 방법을 찾아보자.

2-2-2. 코사인법칙

[생각 열기]

세 지점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 두 지점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 잇는 직선 도로의 길이는 [eqn: rm8``km]이고, 두 지점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 잇는 직선 도로의 길이는 [eqn: rm10``km], [eqn: rm∠ABC=60°]이다.

[정답] ❶ [eqn: rm bar AH = 4root3 `km,~bar BH = 4 `km,~bar CH = 6 `km`]

❷ [eqn: 2root21 ` rm km`]

➊ [eqn: rmA] 지점에서 직선 도로 [eqn: rmbarBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rmbarAH], [eqn: rmbarBH], [eqn: rmbarCH]의 길이

를 구해 보자.

➋ ➊을 이용하여 [eqn: rmbarAC]의 길이를 구해 보자.

[eqn: rm△ ABC]에서 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 2root7] (2) [eqn: 60°]

(1) 코사인법칙에 의하여
[eqn: a^2 `=b^2 `+c^2 `-2bc ``cos `A=6^2 `+4^2 `-2 times 6 times 4 times cos ``60°=28]
그런데 [eqn: a>0]이므로    [eqn: a=root28 =2root7]

(2) 코사인법칙에 의하여
[eqn: cos `A= {b^2 `+c^2 `-a^2} over 2bc ={ 5^2 `+8^2 `-7^2} over {2 times 5 times 8} = 1 over 2]
그런데 [eqn: 0°<A<180°]이므로    [eqn: A=60°]

(1) [eqn: A=60°], [eqn: b=6], [eqn: c=4]일 때, [eqn: a]의 값

(2) [eqn: a=7], [eqn: b=5], [eqn: c=8]일 때, [eqn: A]의 크기

[eqn: rm△ ABC]에서 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 14`]     (2) [eqn: 45°]

(1) [eqn: C=120°], [eqn: a=6], [eqn: b=10]일 때, [eqn: c]의 값

(2) [eqn: a=4], [eqn: b=root10], [eqn: c=root2]일 때, [eqn: B]의 크기

[eqn: rm△ ABC]에서 [eqn: a ``cos`B=b`` cos`A]이면 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.

[정답] [eqn: a=b]인 이등변삼각형

코사인법칙에 의하여

[eqn: cos `A= {b^2 `+c^2 `-a^2} over 2bc],  [eqn: cos` B= {c^2 `+a^2 `-b^2} over 2ca]

이것을 [eqn: a ``cos` B=b ``cos` A]에 대입하면

[eqn: a times { c^2 `+a^2 `-b^2 } over 2ca =b times{ b^2 `+c^2 `-a^2 } over 2bc]

이므로

[eqn: c^2 `+a^2 `-b^2 `=b^2 `+c^2 `-a^2],    [eqn: a^2 `=b^2]

그런데 [eqn: a>0], [eqn: b>0]이므로    [eqn: a=b]

따라서 [eqn: rm△ABC]는 [eqn: a=b]인 이등변삼각형이다.

다음을 만족시키는 [eqn: rm△ABC]는 어떤 삼각형인지 말하시오.

[정답] (1) [eqn: A=90°`]인 직각삼각형  (2) [eqn: b=c`]인 이등변삼각형

(1) [eqn: a ``cos` B-b ``cos `A=c]	(2) [eqn: sin` A=2 ``cos` B``sin` C]

[eqn: rm△ ABC]에서 [eqn: a=5], [eqn: b=6], [eqn: c=7]일 때, [eqn: rm△ ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 6root6]

코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` A={b^2 `+c^2 `-a^2 } over 2bc ={ 6^2 `+7^2 `-5^2 } over {2 times 6 times 7 }= 5over7]

[eqn: sin`A>0]이므로

[eqn: sin` A][eqn: = root{1 -cos^2 `A][eqn: = root{ 1- left( 5over7 right)^2 } = { 2root6} over7]

따라서 [eqn: rm△ ABC]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 bc`` sin` A= 1 over 2 times 6 times 7 times {2root6} over 7 =6 root6]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=8], [eqn: b=13], [eqn: c=7]일 때, [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 14root3`]

다음 그림과 같이 인명 구조 훈련을 위해 높이가 각각 [eqn: rm20``m], [eqn: rm30``m]인 두 빌딩 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 옥상에 로프를 직선으로 연결하였다. [eqn: rmC] 지점에서 두 빌딩 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 올려본각의 크기가 모두 [eqn: 30°]일 때, 로프의 길이 [eqn: rmbarAB]를 구하시오.

[정답] [eqn: rm20root19 ``m]

오른쪽 그림에서 [eqn: rmbarBC][eqn: =a], [eqn: rmbarAC][eqn: =b], [eqn: rmbarAB][eqn: =c]

라 하면

[eqn: rm△ADC]에서 [eqn: b= 20 over{sin``30°}=40]

[eqn: rm△BEC]에서 [eqn: a= 30 over {sin``30°}=60]

[eqn: rm△ACB]에서 [eqn: rm∠ACB=180°-(30°+30°)=120°]

[eqn: a=60], [eqn: b=40]이므로 코사인법칙에 의하여

[eqn: c^2 ` =60^2 `+40^2 `-2 times 60 times 40 times cos``120°=7600]

그런데 [eqn: c>0]이므로    [eqn: c=root7600 =20root19]

따라서 로프의 길이는    [eqn: rmbarAB =20 root19 (m)]

오른쪽 그림과 같이 두 지점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 효인이와 동근이가 각각 서 있다. [eqn: rmbarOA =150``m], [eqn: rmbarOB =70``m], [eqn: rm∠ AOB=60°]일 때, 두 사람 사이의 거리 [eqn: rmbarAB]를 구하시오.

[정답] [eqn: 130 `rm m`]

[생각 넓히기]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm100``m] 떨어진 두 지점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 산꼭대기 [eqn: rmD]를 올려본각의 크기는 각각 [eqn: rm∠DAC=30°], [eqn: rm∠DBC=45°]이고, [eqn: rm∠ACB=30°]이다.

[정답] ❶ [eqn: rm bar AC = root3 it x rm `m,~bar BC = it x `rm m`]

❷ [eqn: x^2 -10000 =0`]

❸ [eqn: 100`rm m`]

❶ [eqn: rmbarCD][eqn: =x``rm m]라 할 때, 사인법칙을

이용하여 [eqn: rmbarAC], [eqn: rmbarBC]를 각각 [eqn: x]에 대한

식으로 나타내어 보자.

❷ [eqn: rm△ABC]에서 과 코사인법칙을

이용하여 [eqn: x]에 대한 방정식을 세워 보자.

❸ 지면에서부터 산꼭대기까지의 높이 [eqn: rmbarCD]를 구해 보자.

[탐구융합]	피타고라스 정리와 코사인법칙
	창의 · 융합 | 의사소통

고대 그리스의 수학자 피타고라스(Pythagoras, B.C.569?~B.C. 475?)의 이름을 딴 피타고라스 정리는, 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 나머지 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같음을 뜻한다.

그런데 피타고라스 정리는 앞에서 배운 코사인법칙의 특별한 경우가 된다.

왜냐하면 삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: c^2 `=a^2 `+b^2 `-2ab ``cos` C]

이고, 이때 [eqn: C]가 직각이면 [eqn: cos` C=0]이므로

[eqn: c^2 `=a^2 `+b^2 `]

이 되기 때문이다.

예각삼각형에서 코사인법칙이 성립함을 확인해 보자.

[그림 1]에서 직사각형 의 넓이가 [eqn: bc``cos` A]임을 알 수 있다.
이를 이용하여 [그림 2]에서 두 직사각형 의 넓이가 각각 [eqn: ac``cos` B], [eqn: ab``cos` C]임을 보이시오.

[정답] 생략

위의 문제와 다음을 이용하여 예각삼각형에서 코사인법칙이 성립함을 설명하시오.

[정답] 생략

중단원 마무리하기

[기본]

다음 [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 20`]     (2) [eqn: {27 root2} over 2 `]

(1) [eqn: a=10], [eqn: b=8], [eqn: C=150°]

(2) [eqn: b=6], [eqn: c=9], [eqn: A=135°]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=6 ``sin` A]일 때, 외접원의 반지름의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=6], [eqn: b=4], [eqn: A=120°]일 때, 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: root3 over3 `]     (2) [eqn: 2root3`]

(1) [eqn: sin `B]

(2) 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: c^2 `=a^2 `+b^2 `- 1over3 ab]일 때, [eqn: cos` C]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 1over6`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=2 root7], [eqn: b=4], [eqn: c=6]일 때, [eqn: A]의 크기를 구하시오.

[정답] [eqn: 60°`]

[표준]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: rmbarAB =6], [eqn: rmbarAC =4]이고 [eqn: sin `(B+C)= 1over4]일 때, [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는 [eqn: rm△ABC]에서 [eqn: A=105°]이고,

[정답] [eqn: 6root2`]

[eqn: 4 ``sin (A+B)``sin` C=1]

이 성립할 때, [eqn: b]의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm120``m]만큼 떨어져 있는 지호와 민아가 하늘에 떠 있는 비행기를 올려본각의 크기가 각각 [eqn: 45°], [eqn: 75°]일 때, 비행기와 민아 사이의 거리를 구하시오.

[정답] [eqn: 40root6 rm `m`]

[eqn: rm△ABC]의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[정답] [eqn: -root3`]

[eqn: (a-b)^2 `=c^2 `-3ab]

가 성립할 때, [eqn: tan` C]의 값을 구하시오.

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: sin` A` : `sin` B` :` sin `C=4 `: `5 `:` 6]일 때, [eqn: cos `A]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: 3over4`]

사인법칙에 의하여

[eqn: sin A ``:``sinB``:``sinC``=``a``:``b``:``c`]

이므로 [eqn: a``:``b``:``c`=4``:``5``:``6`]

따라서 [eqn: a=4k,~b=5k,~c=6k``(k>0)`]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos A = {(5k)^2 + (6k)^2 - (4k)^2 }over{2times 5k times 6k} `][eqn: = 3over4`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=3], [eqn: b=5], [eqn: c=7]일 때, [eqn: rm△ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: {7root3}over3`]

다음을 만족시키는 [eqn: rm△ABC]는 어떤 삼각형인지 말하시오.

[정답] (1) [eqn: C=90°`]인 직각삼각형

(2) [eqn: b=c`]인 이등변삼각형 또는 [eqn: A=90°`]인 직각삼각형

(단, [eqn: R]는 [eqn: rm△ABC]의 외접원의 반지름의 길이이다.)

(1) [eqn: a ``sin` A+b`` sin` B= c^2 over 2R]	(2) [eqn: b over{cos` C} = c over{cos` B}]

오른쪽 그림과 같이 한 지점 [eqn: rmP]에서 두 조각상 [eqn: rmA], [eqn: rmB]까지의 거리와 두 조각상 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 바라본 각의 크기를 측정하였더니 [eqn: rmbarAP =40``m], [eqn: rmbarBP =60``m], [eqn: rm∠APB=60°]이었다. 두 조각상 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리를 구하시오.

[정답] [eqn: 20root7 `rm m`]

[발전]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =3], [eqn: rmbarAC =4]인 [eqn: rm△ABC]의 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC] 위에 각각 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 있다. 선분 [eqn: rmDE]가 [eqn: rm△ABC]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: rmbarAD times barAE]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6`]

주어진 [eqn: rm△ABC`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S= 1over2 times 3 times 4 sinA = 6 sin A`]

선분 [eqn: rm DE`]가 [eqn: rm△ABC`]의 넓이를 이등분하므로 [eqn: rm△ADE`]의 넓이는 [eqn: 1over 2 S`]이다. 즉,

[eqn: rm 1over2 times bar AD times bar AE times sin it A = 1over times 6 sinA`]

이므로 [eqn: rm bar AD times bar AE = 6`]

오른쪽 그림과 같이 두 대각선의 길이가 [eqn: p], [eqn: q]이고, 두 대각선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 120°]인 [eqn: rm□ABCD]가 있다. 이 사각형의 넓이가 [eqn: 2root3]이고, [eqn: p+q=6]일 때, [eqn: p^2 `+q^2]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 20`]

[eqn: □ rm ABCD`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하자.

위의 그림에서

[eqn: S= 1over2 ac sin(180° -120°) + 1 over2 bc sin 120°]

[eqn: + 1over2 bd sin(180°-120°) + 1over2 ad sin120°`]

[eqn: = 1over2 ac sin 120° + 1over2 bc sin120°`][eqn: + 1over2 bd sin120° + 1over2 ad sin120°`]

[eqn: = 1over2 c(a+b) sin 120° + 1over2 d(a+b) sin120°`]

[eqn: = 1over2 (a+b)(c+d) sin120°]

[eqn: = 1over2 pq sin120°`]

[eqn: □ rm ABCD`]의 넓이가 [eqn: 2root3`]이므로 [eqn: 1over2 pq sin120° =2root3`]에서

[eqn: 1over pq times root3 over2 = 2 root3 ,]    [eqn: pq=8`]

이때 [eqn: p+q=6`]이므로

[eqn: p^2 + q^2 = (p+q)^2 -2pq = 6^2 -2 times 8 =20`]

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: rm4``cm]이고 모선의 길이가 [eqn: rm12``cm]인 원뿔이 있다. 원뿔의 밑면인 원의 둘레 위의 점 [eqn: rmP]에서 모선 [eqn: rmOP]의 중점 [eqn: rmQ]까지 원뿔의 표면을 따라 실을 감을 때, 감은 실의 길이의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: 6root7 `rm cm`]

원뿔의 밑면인 원의 둘레의 길이와 옆면인 부채꼴의 호의 길이가 같으므로 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: 2pi times 4 =12 theta,]    [eqn: theta= 2over3 pi`]

감은 실의 길이의 최솟값은 오른쪽 그림에서 [eqn: rm bar PQ`]의 길이와 같다.

[eqn: rm bar PQ = it x` rm cm`]라 하면

[eqn: triangle rm OPQ `]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: x^2 = 6^2 +12^2 -2 times 6 times 12 times cos 2over3 pi = 252`]

그런데 [eqn: x>0`]이므로   [eqn: x= 6 root7`]

따라서 감은 실의 길이의 최솟값은 [eqn: 6root7`rm cm`]이다.

오른쪽 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=3x]와 [eqn: y=x]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: {2root5}over5`]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: x`]축에 수직인 직선 [eqn: x=t`]를 그리고 직선 [eqn: y=3x`]와의 교점을 [eqn: rm P it (t,~3t),] 직선 [eqn: y=x`]와의 교점을 [eqn: rm Q it (t,~t)`]라 하면

[eqn: rm bar OP = it root{t^2 +(3t)^2} = root10 t`]

[eqn: rm bar OQ = it root{t^2 +t^2} = root2 t`]

[eqn: rm bar PQ = 2t`]

[eqn: triangle rm OPQ `]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos theta = {10t^2 +2t^2 -4t^2 }over{2times root10 t times root2 t} = 2 over {root5} = {2root5} over5 `]

원 [eqn: rmO] 위의 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmbarAB =8], [eqn: rmbarAC =12],

[정답] [eqn: 112over3 pi`]

[eqn: rm bar BC =it x`]라 하면 [eqn: triangle rm ABC `]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: x^2 = 8^2 +12^2 -2 times 8 times 12 times cos 60° =112`]

그런데 [eqn: x>0`]이므로   [eqn: x=4root7`]

원 [eqn: rm O`]의 반지름의 길이를 [eqn: R`]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: {4root7}over{sin60°} = 2R,]   [eqn: R= {4root21}over3`]

따라서 구하는 원의 넓이는

[eqn: pi times left( {4root21}over3 right)= 112over3 pi`]

[eqn: A=60°]일 때, 이 원의 넓이를 구하시오.

대단원 평가하기

다음 중에서 각을 나타내는 동경이 위치하는 사분면이 다른 하나는?

[정답] ⑤

① [eqn: 920°]	② [eqn: -520°]	③ [eqn: - 5 over 6 pi]

④ [eqn: 4over3 pi]	⑤ [eqn: 11 over4 pi]

중심각의 크기가 [eqn: 4over7 pi]이고, 호의 길이가 [eqn: 4pi]인 부채꼴의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 14pi`]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP(1,~ -2)]를 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin ``theta`` cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: - 2over5`]

[eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각일 때, [eqn: {|`sin``theta`|} over{root{cos^2 `theta}} +2`|`tan``theta`|]를 간단히 하시오.

[정답] [eqn: -3tan theta`]

[eqn: theta]가 제[eqn: 3]사분면의 각이고 [eqn: tan``theta= 3 over 4]일 때,
[eqn: sin``theta +cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: - 7over5`]

[eqn: {cos``theta} over {1-sin``theta} - {sin``theta} over{ cos``theta}]를 간단히 하시오.

[정답] [eqn: 1over{cos theta}`]

이차방정식 [eqn: 2x^2 `-x+a=0]의 두 근이 [eqn: sin``theta], [eqn: cos``theta]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: - 3over4`]

함수 [eqn: f(x)=3` sin` left(2x- pi over3 right)+2]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 4`]

[eqn: sin` 5 over 6 pi+cos `11 over3 pi]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 1`]

다음 식을 간단히 하시오.
[eqn: sin^2 `left( pi over 2 +theta right)+4``cos^2 `(pi+theta)][eqn: +2``sin^2 `(2pi-theta)+3``cos^2 `left( 3 over2 pi-theta right)]

[정답] [eqn: 5`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f left(x+ pi over 2 right)=f(x)]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ④

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: f(x)= 1 over 2` sin``4x] ㄴ. [eqn: f(x)=2``cos x over 4 +1] ㄷ. [eqn: f(x)=4``tan`2x+3]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin``x=- 1 over 2]의 모든 근의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 3pi`]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin``x=root3 `cos``x]를 푸시오.

[정답] [eqn: x= pi over3`] 또는 [eqn: x= 4over3 pi`]

[eqn: 0 le x<2pi]일 때, 두 부등식
[eqn: sin``x> root2 over 2],  [eqn: cos``x< 1 over 2]
을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위를 구하시오.

[정답] [eqn: pi over3 <x< 3over4 pi`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x^2 `-4 ``cos``theta `x+1 ge 0]
이 성립하도록 하는 [eqn: theta]의 값의 범위가 [eqn: alpha le theta le beta]일 때, [eqn: alpha+beta]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 le theta le pi])

[정답] [eqn: pi`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=8], [eqn: b=3], [eqn: cos `C= 1over3]일 때, [eqn: rm△ABC]의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 8root2`]

어느 휴양림에서는 오른쪽 그림과 같은 모양의 땅에 야영장을 조성하려고 한다. 이 야영장 부지의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: (1500root7 + 2400) `rm m^2`]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=3root2], [eqn: B=105°], [eqn: C=30°]일 때, [eqn: c]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

[eqn: rm△ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 [eqn: A=60°], [eqn: b=4root2]일 때, [eqn: C]의 크기를 구하시오.

[정답] [eqn: 75°`]

넓이가 [eqn: 8root2]인 [eqn: rm△ABC]에서
[eqn: sin ``A`:`sin`` B`:`sin`` C=root2 `:`1`:`root3]

[정답] [eqn: 4 left(1+root2 + root3 right)`]

일 때, [eqn: rm△ABC]의 둘레의 길이를 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm△ABC]에서 각 [eqn: rmA]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarAB =4], [eqn: rmbarAC =6], [eqn: rmbarAD =3]일 때, [eqn: rmbarBD]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: root10`]

[eqn: rm bar AD`]가 각 [eqn: rm A`]를 이등분하고 [eqn: rm bar AB ``:`` bar AC `=`4``:``6 `=` 2``:``3`]이므로

[eqn: rm bar BC ``:``bar CD `=`2``:``3`]

[eqn: angle rm BAD = angle CAD = theta,~bar BD = it 2k, ~rm bar CD = it 3k``(k>0)`]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos theta ={4^2 +3^2 -(2k)^2}over{2 times 4times 3} = {6^2 + 3^2 - (3k)^2}over{2times6times3}`]

[eqn: k^2 = 5over2 `]

그러데 [eqn: k`]는 양수이므로   [eqn: k= root10 over2 `]

따라서 [eqn: rm BD = 2k = root10`]

오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 [eqn: rm□ABCD]에서 [eqn: rmbarAB =3], [eqn: rmbarBC =4],
[eqn: rmbarCD =2]이고 [eqn: rm△ABC]의 넓이가
[eqn: rm4root2]일 때, [eqn: rmbarAD]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

[eqn: triangle rm ABC`]의 넓이가 [eqn: 4root2`]이므로 [eqn: B`]의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: 1over2 times 4 times 3 times sin theta = 4 root2 `]

[eqn: sin theta = {2root2} over3`]

[eqn: sin^2 theta + cos^2 theta =1`]이므로

[eqn: cos^2 theta = 1- sin^2 theta`]

[eqn: =1- left({2root2}over3 right)^2 = 1over9`]

[eqn: cos theta= - 1over3 `] 또는 [eqn: cos theta = 1over3`]

그런데 [eqn: theta`]는 예각이므로   [eqn: cos theta = 1over3`]

[eqn: rm bar AC =it x`]라 하면 [eqn: triangle rm ABC`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: x^2 = 3^2 + 4^2 - 2 times 3 times 4 times cos theta`]

[eqn: =25 - 2 times 3 times 4 times 1over3 `]

[eqn: =17`]

그런데 [eqn: x>0`]이므로   [eqn: x= root17`]

원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 각의 크기의 합은 [eqn: pi`]이므로 [eqn: triangle rm ACD`]에서

[eqn: angle D = pi - theta`]

이때 [eqn: rm bar AD = y`]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos(pi-theta)= {2^2 +y^2 - left(root17 right)^2 }over{2 times 2 times y}`]

이고, [eqn: cos(pi-theta)=-cos theta`]이므로

[eqn: {y^2 -13}over{4y} = - 1over3 ,`]   [eqn: 3y^2 +4y -39 =0`]

[eqn: (3y+13)(y-3)=0`]

[eqn: y= - 13over3 `] 또는 [eqn: y=3`]

그런데 [eqn: rm bar AC >0`]이므로   [eqn: rm bar AD =it y=3`]

(단, [eqn: B]는 예각이다.)

함수 [eqn: f(x)=a`` tan (bx+c)+d]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: abcd]의 값을 구하시오. (단, [eqn: b>0])

[정답] [eqn: 3pi`]

[eqn: f(x)=a`` tan (bx+c)+d`]

[eqn: = a tan b left(x+ c over b right) +d`]	[eqn: cdots cdots`]①

[eqn: b>0`]이고, 조건 ㈎ 에서 주기가 [eqn: pi over2 `]이므로

[eqn: pi over b = pi over2`]에서 [eqn: b=2`]

조건 ㈏ 에서 [eqn: y=a tan b x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: pi over4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동하면

[eqn: y=a tan b left(x- pi over4 right)-1`]	[eqn: cdots cdots`]②

①, ②에서   [eqn: c over b = - pi over4 ,~ d=-1`]

이때 [eqn: b=2`]이므로   [eqn: c=- pi over2 `]

한편, 조건 ㈐ 에서 [eqn: f left( pi over3 right)=root3 -1`]이므로

[eqn: a tan left( 2 times pi over3 - pi over2 right)-1= a tan pi over6 -1=root3 -1`]

[eqn: root3 over3 a-1 = root3 -1`]

즉,  [eqn: a=3`]

따라서 [eqn: a=3,~b=2,~c= - pi over2 ,~d=-1`]이므로

[eqn: abcd=3 times 2 times left( - pi over2 right) times (-1) = 3 pi`]

㈎ 주기가 [eqn: pi over 2]인 주기함수이다.

㈏ [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: y=a ``tan`` bx]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi over4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이다.

㈐ [eqn: f left( pi over3 right)=root3 -1]

[eqn: 0 le x< pi over 2]일 때, 방정식 [eqn: 2`` sin` left(4x- pi over3 right)=1]을 푸시오.

[정답] [eqn: x= pi over 8 `] 또는 [eqn: x= 7over24 pi`]

[eqn: 2`` sin` left(4x- pi over3 right)=1`]에서 [eqn: 4x- pi over3 =t`]라 하면

[eqn: 2 sin t =1,]   [eqn: sint = 1over2`]

[eqn: 0 le x< pi over 2 `]에서 [eqn: t`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: - pi over3 le t < 5over3 pi`]

[eqn: sin t = 1 over2`]을 만족시키는 [eqn: t`]의 값은

[eqn: t= pi over6 `] 또는 [eqn: t= 5over6 pi`]

즉, [eqn: 4x- pi over3 = pi over6 `] 또는 [eqn: 4x- pi over3 = 5over6 pi`]이므로

[eqn: x= pi over 8 `] 또는 [eqn: x= 7over24 pi`]

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rmbarAB =barAC =8], [eqn: rmbarBC =12]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 변 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1` : `2]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm∠BAD=theta]라 할 때, [eqn: cos``theta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: {5root2} over8`]

[eqn: rm bar BC `]를 점 [eqn: rm D`]가 [eqn: 1``:``2`]로 내분하였으므로

[eqn: rm bar BD =4 ,~ bar CD =8`]

[eqn: rm bar AD = it x`]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos C = {8^2 +12^2 -8^2}over{2 times 8 times 12} = {8^2 + 8^2 -x^2 }over{2 times 8 times8}`]

[eqn: x= 4root2 `]

따라서 [eqn: triangle rm ABD`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos theta = {8^2 + left(4root2 right)^2 -4^2}over{2 times 8 times 4root2} ={5root2}over{8}`]

3-1-1. 수열

				미래앤 수학1

수열

[생각 열기]

미국의 천문학자 칼 세이건([eqn: rmCarl] [eqn: rmSagan], [eqn: 1934]~[eqn: 1996])의 소설 □콘택트□는 주인공 엘리가 외계 생명체를 찾아 나서는 내용이다. 천문학자인 엘리는 어느 날 우주로부터 오는 신호를 수신하던 중 직녀성으로부터 온 신호가 소수로 나열됨을 발견 한다.

[정답] [eqn: 2,~3,~5,~7,~11,~13,~17,~19`]

[eqn: 20] 이하의 소수를 작은 것부터 차례대로 나열해 보자.

다음 수열의 첫째항부터 제[eqn: 4]항까지를 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1,~4,~7,~10`] (2) [eqn: 2,~8,~26,~80`] (3) [eqn: 2,~ 5over3 ,~ 3over2 ~, 7over5 `]

(1) [eqn: left{3n-2 right}]      (2) [eqn: left{3^n -1 right}]      (3) [eqn: left{ n+3 over n+1 right}]

다음 수열의 일반항 [eqn: a_n]을 추측해 보시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =n^2] (2) [eqn: a_n =10^n -1]

(1) [eqn: a_1 =1=1^2], [eqn: a_2 =4=2^2], [eqn: a_3 =9=3^2], [eqn: a_4 =16=4^2], [eqn: CDOTS]
따라서 [eqn: a_n =n^2]이다.

(2) [eqn: a_1 =9=10^1 -1], [eqn: a_2 =99=10^2][eqn: -1], [eqn: a_3 =999=10^3 -1],
[eqn: a_4 =9999=10^4 -1], [eqn: CDOTS]
따라서 [eqn: a_n =10^n `-1]이다.

(1) [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9], [eqn: 16], [eqn: CDOTS]	(2) [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999], [eqn: 9999], [eqn: CDOTS]

다음 수열의 일반항 [eqn: a_n]을 추측해 보시오.

[정답] (1) [eqn: a_n = 1over n^3 `]     (2) [eqn: a_n = n(n+1)`]

(1) [eqn: 1], [eqn: 1 over 8], [eqn: 1 over27], [eqn: 1 over64], [eqn: CDOTS]   (2) [eqn: 1 times 2], [eqn: 2 times 3], [eqn: 3 times 4], [eqn: 4 times 5], [eqn: CDOTS]

[생각 넓히기]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: n], [eqn: CDOTS]에 각 항 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: CDOTS], [eqn: a_n], [eqn: CDOTS]이 차례대로 대응하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 정의역이 자연수 전체의 집합 [eqn: N], 공역이 실수 전체의 집합 [eqn: R]인 함수

[정답] ❶ [eqn: 16`]   ❷ [eqn: a_n = (n+1)^2 `]

[eqn: f `: `N] → [eqn: R]

로 볼 수 있다. 이때 [eqn: f(n)=a_n]이다.

❶ 오른쪽 그림과 같이 정의된 함수 [eqn: f]에서 □

안에 알맞은 수를 써넣어보자.

❷ 함수 [eqn: f]가 나타내는 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을

추측해 보자.

3-1-2. 등차수열

[생각 열기]

세계 물 위원회에서는 전 세계의 물 문제 해결을 위한 공동 대응을 목적으로 [eqn: 3]년마다 ‘세계 물 포럼’을 개최하고 있다.

[정답] ❶ 제 [eqn: 7`]회   ❷ [eqn: 2024`]년

➊  제[eqn: 1]회 세계 물 포럼은 [eqn: 1997]년 모로코의 마라케시에서 개최되었다. [eqn: 2015]년 우리나라의 대구·경북 지역에서 개최된 포럼은 제몇 회인지 구해 보자.

➋  제[eqn: 10]회 세계 물 포럼은 몇 년도에 개최되는지 구해 보자.

다음 수열이 등차수열을 이룰 때, □ 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

[정답] (1) [eqn: 8`]    (2) [eqn: 1over2 ,``-1`]

(1) [eqn: -2], [eqn: 3], , [eqn: 13], [eqn: 18], [eqn: CDOTS]    (2) [eqn: 1], , [eqn: 0], [eqn: - 1 over 2], , [eqn: CDOTS]

다음 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =7n-2] (2) [eqn: a_n =-3n+23]

(1) 첫째항이 [eqn: 5], 공차가 [eqn: 7]인 등차수열의 일반항은
[eqn: a_n =5+(n-1) times 7=7n-2]

(2) 주어진 수열은 첫째항이 [eqn: 20], 공차가 [eqn: -3]인 등차수열이므로

일반항은
[eqn: a_n =20+(n-1) times (-3)=-3n+23]

(1) 첫째항이 [eqn: 5], 공차가 [eqn: 7]	(2) [eqn: 20], [eqn: 17], [eqn: 14], [eqn: 11], [eqn: CDOTS]

다음 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =3n-4`]     (2) [eqn: a_n =-6n+11`]

(1) 첫째항이 [eqn: -1], 공차가 [eqn: 3]	(2) [eqn: 5], [eqn: -1], [eqn: -7], [eqn: -13], [eqn: CDOTS]

첫째항이 [eqn: 70], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: 34`]     (2) 제 [eqn: 20`]항

(1) 제[eqn: 10]항을 구하시오.

(2) [eqn: -6]은 제몇 항인지 구하시오.

제[eqn: 3]항이 [eqn: 11], 제[eqn: 9]항이 [eqn: 23]인 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: a_n =2n+5]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_3 =a+2d=11], [eqn: a_9 =a+8d=23]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=7], [eqn: d=2]

따라서 첫째항이 [eqn: 7], 공차가 [eqn: 2]이므로 일반항은

[eqn: a_n =7+(n-1) times 2=2n+5]

[eqn: a_2 =8], [eqn: a_8 =26]인 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: a_n = 3n+2`]

제[eqn: 3]항이 [eqn: 81], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 73]인 등차수열에 대하여 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =-2n+67`]     (2) 제 [eqn: 44`]항

(1) 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

(2) 처음으로 음수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.

수열 [eqn: left{4n-1 right}]이 등차수열임을 보이시오.

[정답] 풀이 참조

수열 [eqn: left{4n-1 right}]의 각 항에서 바로 앞의 항을 뺀 차가 일정한 수임을 보이면 된다.

[eqn: a_n =4n-1], [eqn: a_n+1 =4(n+1)-1=4n+3]이므로

[eqn: a_n+1 -a_n =(4n+3)-(4n-1)=4] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

따라서 주어진 수열은 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이다.

일반항 [eqn: a_n]이 [eqn: n]에 대한 일차식 [eqn: pn+q]인 수열은 등차수열임을 보이시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 상수이다.)

[정답] 풀이 참조

[eqn: a_n =pn +q,~a_n+1 = p(n+1)+q = pn +p+q`]이므로

[eqn: a_n+1 - a_n = (pn+p+q)-(pn+p)=p`] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

따라서 주어진 수열은 공차가 [eqn: p`]인 등차수열이다.

네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: 10], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a]와 [eqn: b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: a=6], [eqn: b=14]

네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: 10], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루면, [eqn: a]는 [eqn: 2]와 [eqn: 10]의 등차중항이고 [eqn: 10]은 [eqn: a]와 [eqn: b]의 등차중항이므로

[eqn: a= 2+10 over 2 =6], [eqn: 10= a+b over 2]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=6], [eqn: b=14]

다음 수열이 등차수열이 되도록 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 값을 정하시오.

[정답] (1) [eqn: x=4,~y=16`]     (2) [eqn: x=8,~y=3,~z=-2 `]

(1) [eqn: -2], [eqn: x], [eqn: 10], [eqn: y], [eqn: 22], [eqn: CDOTS]    (2) [eqn: 13], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: -7], [eqn: CDOTS]

오른쪽 그림과 같이 직선 주로와 반원 모양의 곡선 주로로 이루어진 육상 경기장이 있다. 이 주로의 폭은 일정하며, 각 주로의 경계선의 길이를 안쪽부터 차례대로

[정답] (1) [eqn: 431.4`]     (2) [eqn: 400`]      (3) [eqn: 1.25 `rm m`]

[eqn: a_1 ``rm m], [eqn: a_2 ``rmm], [eqn: CDOTS], [eqn: a_9 ``rmm]라 할 때, [eqn: a_3 =415.7], [eqn: a_7 =447.1]이다. 다음에 답하시오. (단, [eqn: pi=3.14]로 계산한다.)

(1) [eqn: a_5]를 구하시오.

(2) [eqn: a_1]을 구하시오.

(3) 주로의 폭을 구하시오.

[생각 열기]

다음은 독일의 수학자 가우스([eqn: rmGauss], [eqn: rmK]. [eqn: rmF]., [eqn: 1777]~[eqn: 1855])의 일화이다.

[정답] ➊ [eqn: 2S= 10100`]         ➋ [eqn: 5050`]

[eqn: 1]에서 [eqn: 100]까지의 합을 다음과 같이 계산해 보자.
[eqn: S= ````1```` +```2```+```3```+ `CDOTS`+98+99+100]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①
[eqn: S=100+99+98+` CDOTS` +```3```+```2```+```` 1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②

➊ ①과 ②를 변끼리 더해 보자.

➋ ➊을 이용하여 [eqn: S]의 값을 구해 보자.

다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 750`]     (2) [eqn: -660`]

(1) 첫째항이 [eqn: -12], 제[eqn: 15]항이 [eqn: 112]인 등차수열의 첫째항부터

제[eqn: 15]항까지의 합

(2) 첫째항이 [eqn: 5], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 442`]     (2) [eqn: -120`]

(1) [eqn: 10+14+18+ `CDOTS` +58]    (2) [eqn: 34+28+22+` CDOTS` +(-50)]

[eqn: 100] 이하의 자연수 중에서 [eqn: 3]으로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 2]인 수의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 1650]

주어진 조건을 만족시키는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열하면

[eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8], [eqn: CDOTS], [eqn: 98]

이것은 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로 일반항을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: a_n =2+(n-1) times 3=3n-1]

그런데 [eqn: 3n-1=98]에서 [eqn: n=33]이므로 [eqn: 98]은 제[eqn: 33]항이다.

따라서 구하는 합은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: 33]항까지의 합 [eqn: S_33]이므로

[eqn: S_33 = 33(2+98) over 2 =1650]

[eqn: 100] 이상 [eqn: 200] 이하의 자연수 중에서 [eqn: 4]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 1]인 수의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 3725`]

첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 42], 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 150]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: S_n =2n^2 -5n]

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: S_6 = 6(2a+5d) over 2 =42]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①

[eqn: S_10 = 10(2a+9d) over 2 =150]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②

①, ②에서 [eqn: 2a+5d=14], [eqn: 2a+9d=30]

위의 두 식을 연립하여 풀면	[eqn: a=-3], [eqn: d=4]

따라서 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = {n left{2 times (-3)+(n-1) times 4 right}} over 2 =2n^2 -5n]

첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합이 [eqn: 185], 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 220]인 등차수열에 대하여 다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: S _n =-3n^2 +52 n`]     (2) [eqn: n=9`]

(1) 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]

(2) [eqn: S_n]이 최대가 되도록 하는 [eqn: n]의 값

[생각 넓히기]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,
[eqn: a_1 =S_1], [eqn: a_n =S_n -S_n-1] [eqn: (n ge 2)]
이 성립한다.

[정답] ➊ [eqn: a_n = -6n+7`]   ➋ 공차 [eqn: -6`]   ❸ 공차 [eqn: 2p`]

➋ [eqn: a_n+1 - a_n =-6`]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 공차가 [eqn: -6`]인 등차수열이다.

❸ [eqn: a_n = S_n -S_n-1 = 2pn -p+q`]이므로

[eqn: a_n+1 -a_n = 2p`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 공차가 [eqn: 2p`]인 등차수열이다.

➊ [eqn: S_n =-3n^2 `+4n]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구해 보자.

➋ 의 수열 [eqn: left{a_n right}]이 등차수열임을 확인하고,

그 공차를 구해 보자.

❸ [eqn: S_n =pn^2 `+qn``(p!=0)]일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]이 등차수열임을

확인해 보자. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 상수이다.)

3-1-3. 등비수열

[생각 열기]

떨어뜨린 높이의 [eqn: 4 over 5]만큼 다시 튀어 오르는 공이 있다.

[정답] ➊ [eqn: 4, ~ 16over5 ,~ 64 over25 , ~cdots`] ➋ [eqn: 4over5`]를 곱하면 다음 항이 된다.

➊ 이 공을 [eqn: rm5``m]의 높이에서 떨어뜨렸을 때, 첫 번째 튀어 오른 높이, 두 번째 튀어 오른 높이, [eqn: CDOTS]를 각각 계산하여 수열을 만들어 보자. (단, 단위는 [eqn: rmm]이다.)

➋ ➊에서 만든 수열의 규칙을 말해 보자.

다음 수열이 등비수열을 이룰 때, □ 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

[정답] (1) [eqn: 4`]     (2)

(1) [eqn: 1], [eqn: -2], , [eqn: -8], [eqn: 16], [eqn: CDOTS]      (2) [eqn: 3], , [eqn: 1over3], [eqn: 1 over 9], , [eqn: CDOTS]

다음 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =2 times 7^n-1] (2) [eqn: a_n =18 times left(- 1over3 right)^n-1]

(1) 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 7]인 등비수열의 일반항은
[eqn: a_n =2 times 7^n-1]

(2) 주어진 수열은 첫째항이 [eqn: 18], 공비가 [eqn: - 1over3]인 등비수열이므로 일반항은
[eqn: a_n =18 times left(- 1over3 right)^n-1]

(1) 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 7]      (2) [eqn: 18], [eqn: -6], [eqn: 2], [eqn: - 2 over 3], [eqn: CDOTS]

다음 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n = -5 times 3^n-1`]    (2) [eqn: a_n = 3 times (-4)^n-1`]

(1) 첫째항이 [eqn: -5], 공비가 [eqn: 3]      (2) [eqn: 3], [eqn: -12], [eqn: 48], [eqn: -192], [eqn: CDOTS]

첫째항이 [eqn: 64], 공비가 [eqn: 1over4]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: 4`]     (2) 제 [eqn: 9`]항

(1) 제[eqn: 3]항을 구하시오.

(2) [eqn: 1 over1024]은 제몇 항인지 구하시오.

제[eqn: 2]항이 [eqn: 14], 제[eqn: 5]항이 [eqn: 112]인 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: a_n =7 times 2^n-1]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_2 =ar=14], [eqn: a_5 =ar^4 =112]

위의 두 식을 연립하여 풀면	[eqn: a=7], [eqn: r=2]

따라서 첫째항이 [eqn: 7], 공비가 [eqn: 2]이므로 일반항은

[eqn: a_n =7 times 2^n-1]

[eqn: a_3 = 25 over2], [eqn: a_6 =-12500]인 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: a_n = 1over8 times (-10)^n-1`]

제[eqn: 2]항이 [eqn: 2], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 64]인 등비수열에 대하여 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n = 2^n-1`]     (2) 제 [eqn: 13`]항

(1) 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

(2) 처음으로 [eqn: 3000]보다 커지는 항은 제몇 항인지 구하시오.

네 수 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: 9], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: a=6], [eqn: b= 27 over 2]

네 수 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: 9], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이루면, [eqn: a]는 [eqn: 4]와 [eqn: 9]의 등비중항이고 [eqn: 9]는 [eqn: a]와 [eqn: b]의 등비중항이므로

[eqn: a^2 `=4 times 9=36], [eqn: 9^2 `=ab]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=-6], [eqn: b=- 27 over 2] 또는 [eqn: a=6], [eqn: b= 27 over 2]

그런데 [eqn: a], [eqn: b]는 양수이므로

[eqn: a=6], [eqn: b= 27 over 2]

다음 수열이 등비수열이 되도록 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 값을 정하시오.

[정답] (1) [eqn: x=6,~y=24`]  (2) [eqn: x= root7 over2 , ~y=7,~z= 14root7`]

(1) [eqn: 3], [eqn: x], [eqn: 12], [eqn: y], [eqn: 48], [eqn: CDOTS]      (2) [eqn: 1over4], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: 196], [eqn: CDOTS]

오른쪽 그림과 같이 정오각형 안에 별이 그려진 모양은 고

[정답] [eqn: {1+root5}over{2}`]

대 피타고라스학파의 상징으로 사용되었다.
정오각형의 한 대각선이 다른 대각선을 [eqn: 1 : x]로 나눌 때, 세 수
[eqn: 1], [eqn: x], [eqn: 1+x]
가 이 순서대로 등비수열을 이룬다고 한다. 양수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 1over3]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 242 over 81`]

[eqn: {1} over {2 ^{8}} - {1} over {2 ^{7}} + {1} over {2 ^{6}} - {1} over {2 ^{5}} +` CDOTS `+1]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 171 over 256`]

첫째항부터 제[eqn: 3]항까지의 합이 [eqn: 26], 첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 728]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]을 구하시오.

[정답] [eqn: S_n =3^n `-1]

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r(r!=1)]라 하면

[eqn: S_3 = {a(r^3 -1)} over r-1 =26]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①

[eqn: S_6 = {a(r^6 -1)} over r-1 =728]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②

②를 변형하면

[eqn: {a(r^3 -1)(r^3 +1)} over r-1 =728],	[eqn: {a(r^3 -1)} over r-1 times (r^3 +1)=728]

①을 위의 식에 대입하면 [eqn: 26(r^3 +1)=728]

[eqn: r^3 =27]

그런데 [eqn: r]는 실수이므로 [eqn: r=3]

[eqn: r=3]을 ①에 대입하면

[eqn: 13a=26], [eqn: a=2]

따라서 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = {2(3^n -1)} over 3-1 =3^n -1]

모든 항이 양수인 등비수열에 대하여 첫째항부터 제[eqn: 4]항까지의 합이 [eqn: 45], 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합이 [eqn: 765]일 때, 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 3069`]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,

[정답] (1) [eqn: a _{n} =2 TIMES 3^n `]     (2) 공비 [eqn: 3`]

(2) [eqn: a_n+1 = 3 a_n `]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다.

[eqn: S_n =3^n+1 -3]이다. 다음에 답하시오.

(1) [eqn: a_1 =S_1], [eqn: a_n =S_n -S_n-1 `(n ge 2)]임을 이용하여 수열 [eqn: left{a_n right}]의

일반항을 구하시오.

(2) (1)의 수열 [eqn: left{a_n right}]이 등비수열임을 확인하고, 그 공비를 구하시오.

연이율이 [eqn: r]이고 [eqn: 1]년마다 복리로 매년 초에 일정한 금액 [eqn: a]원을 [eqn: n]년 동안 적립할 때, [eqn: n]년 말까지 적립금의 원리합계를 구하시오.

[정답] [eqn: {a(1+r)left{(1+r)^n -1right}} over r]원

매년 초에 [eqn: a]원을 적립할 때, 매년 적립금의 [eqn: n]년 말까지의 원리합계는 다음과 같다.

따라서 구하는 적립금의 원리합계를 [eqn: S_n]원이라 하면

[eqn: S_n][eqn: =a(1+r)+a(1+r) ^{2} `+a(1+r) ^{3} +` CDOTS `+a(1+r) ^{n}]
[eqn: = {a(1+r)left{(1+r)^n -1 right}} over {(1+r)-1} = {a(1+r)left{(1+r)^n -1right}} over r]

연이율이 [eqn: 2``]%이고 [eqn: 1]년마다 복리로 매년 초에 [eqn: 30]만 원씩 [eqn: 10]년 동안 적립할 때, [eqn: 10]년 말까지 적립금의 원리합계를 구하시오. (단, [eqn: 1.02^10 =1.2]로 계산한다.)

[정답] [eqn: 306`]만원

[생각 넓히기]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이가 있다.
첫 번째 시행에서 각 변의 중점을 이어서 만든 네 개의 정사각형 중에서 왼쪽 위의 정사각형을 색칠한다. 두 번째 시행에서 첫 번째 시행 후 남은 오른쪽 아래의 정사각형에서 같은 방법으로 정사각형을 색칠한다.
이와 같은 시행을 반복할 때, [eqn: n]번째 시행에서 색칠하는 정사각형의 넓이를 [eqn: a_n]이라 하자.

[정답] ➊ 공비 [eqn: 1over4`]      ➋ [eqn: 5`]번째

➊ [eqn: a_1 =1,~a_2 = 1over4 ,~a_3 = 1over16 ,~ cdots`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 공비가 [eqn: 1over4`]인 등비수열을 이룬다.

➊ 수열 [eqn: left{a_n right}]이 등비수열을 이루는지 확인해 보고, 등비수열을

이루면 공비를 구해 보자.

➋ 색칠한 정사각형의 넓이의 합이 처음으로 [eqn: 85 over64]보다 커지는 것은 몇 번째 시행인지 말해 보자.

중단원 마무리하기

[기본]

다음 수열의 제[eqn: 7]항을 추측해 보시오.

[정답] (1) [eqn: 1over14`]     (2) [eqn: 7`]

(1) [eqn: 1 over 2], [eqn: 1over4], [eqn: 1 over 6], [eqn: 1 over 8], [eqn: CDOTS]

(2) [eqn: 1], [eqn: -2], [eqn: 3], [eqn: -4], [eqn: CDOTS]

다음 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n =3n+3`]     (2) [eqn: a_n =2n-3`]

(1) [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: 13], [eqn: 16], [eqn: CDOTS]

(2) 첫째항이 [eqn: -1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열

다음 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n = 5^{n-1`}]     (2) [eqn: a_n = 2 times left( - 1over6 right)^n-1`]

(1) [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 25], [eqn: 125], [eqn: CDOTS]

(2) 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: - 1 over 6]인 등비수열

다음을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1`]     (2) [eqn: -4`] 또는 [eqn: 4`]

(1) 세 수 [eqn: 5], [eqn: x], [eqn: -3]이 등차수열을 이룰 때, [eqn: x]의 값

(2) 세 수 [eqn: 1], [eqn: y], [eqn: 16]이 등비수열을 이룰 때, [eqn: y]의 값

다음 수열의 첫째항부터 제[eqn: 7]항까지의 합을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -91`]     (2) [eqn: 254`]

(1) 등차수열 [eqn: 2], [eqn: -3], [eqn: -8], [eqn: -13], [eqn: CDOTS]

(2) 등비수열 [eqn: 128], [eqn: 64], [eqn: 32], [eqn: 16], [eqn: CDOTS]

[표준]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음을 만족시킬 때, [eqn: a_20]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 55`]     (2) [eqn: -33`]

(1) [eqn: a_3 =4], [eqn: a_7 =16]	(2) [eqn: a_2 =3], [eqn: a_10 =-13]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_3 +a_5 =26], [eqn: a_4 -a_7 =-12]일 때, [eqn: 93]은 제몇 항인지 구하시오.

[정답] 제 [eqn: 24`]항

[eqn: 11]과 [eqn: 35] 사이에 세 개의 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 넣어 [eqn: 11], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: 35]가 이 순서대로 등차수열을 이루도록 할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: a=17,~b=23,~c=29`]

첫째항이 [eqn: 9]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 제[eqn: 3]항과 제[eqn: 5]항은 절댓값이 같고 부호가 반대일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: -45`]

제 [eqn: 3`]항과 제 [eqn: 5`]항이 절대값이 같고 부호가 반대이므로

[eqn: a_3 + a_5 =0`]

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 할 때,

[eqn: (9+2d)+(9+4d)=0`]

[eqn: 18+6d=0`]

[eqn: d=-3`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 9,] 공차가 [eqn: -3`]인 등차수열이므로 첫째항부터 제 [eqn: 10`]항까지의 합은

[eqn: {10 left{2 times 9 +(10-1)times(-3) right}}over{2} =-45`]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: S_5 =40], [eqn: S_10 =155]일 때, [eqn: a_10]을 구하시오.

[정답] [eqn: 29`]

어느 공연장의 관람석은 첫 번째 줄이 [eqn: 24]석이고, 그다음 줄부터 [eqn: 3]석씩 늘어나 [eqn: 20]번째 줄까지 배치되어 있다. 이 공연장의 총관람석 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 1050`]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음을 만족시킬 때, [eqn: a_9]를 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -81`]     (2) [eqn: 320`]

(1) [eqn: a_2 =root3], [eqn: a_5 =-9]	(2) [eqn: a_4 =10], [eqn: a_7 =80]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 +a_2 +a_3 =2], [eqn: a_4 +a_5 +a_6 =16]이 성립할 때, [eqn: a_1 +a_3 +a_5]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6`]

서로 다른 세 수 [eqn: 4], [eqn: a], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 4]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: a=1,~b=-2`]

등비수열을 이루는 세 실수의 합이 [eqn: 7]이고 곱이 [eqn: -27]일 때, 세 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 1,``-3,~9`]

첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: S_6 over S_3 =126]이다. 이때 [eqn: S_4]를 구하시오.

[정답] [eqn: 156`]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: S_n =9 times 2^n +k]가 성립한다. 이때 수열 [eqn: left{a_n right}]이 첫째항부터 등비수열을 이루도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: -9`]

[발전]

두 집합

[정답] 제 [eqn: 8`]항

[eqn: A= left{ 2,~5,~8,~11,~14,~17,~20,~23,~ cdots right},`]

[eqn: B= left{ 3,~8,~13,~18,~23,~28,~ cdots right}`]

이므로

[eqn: A cap B = left{ 8,~23,~38,~cdots right}`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 8,] 공차가 [eqn: 15`]인 등차수열 이므로

[eqn: a_n = 8+(n-1)times15= 15n-7`]

[eqn: a_k >100`]에서   [eqn: 15k-7>100`]

[eqn: 15k>107,]   [eqn: k>7. times times times`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 처음으로 [eqn: 100`]보다 커지는 항은 제 [eqn: 8`]항이다.

[eqn: A= left{x`|`x=3n-1], [eqn: n]은 자연수[eqn: `right}],

[eqn: B=left{ y`|`y=5n-2], [eqn: n]은 자연수[eqn: `right}]

에 대하여 집합 [eqn: A∩B]의 원소를 작은 것부터 차례대로 나열한 수열을 [eqn: left{a_n right}]이라 하자. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 처음으로 [eqn: 100]보다 커지는 항은 제 몇 항인지 구하시오.

첫째항이 [eqn: 30]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_5 =S_11]이다. 이때 [eqn: S_n]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 128`]

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: S_5 =S_11`]에서

[eqn: {5 LEFT { 2 TIMES 30+(5-1)d RIGHT }} over {2} = {11 LEFT { 2 TIMES 30+(11-1)d RIGHT }} over {2}`]

[eqn: 45d=-180,]    [eqn: d=-4`]

따라서 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 30,] 공차가 [eqn: -4`]인 등차수열이므로

[eqn: S_n = {n left{2times30 +(n-1) times (-4) right}}over{2}`]

[eqn: = -2n^2 +32n = -2(n-8)^2 +128`]

즉, [eqn: S_n `]의 최댓값은 [eqn: 128`]이다.

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 각각 [eqn: kn^2 +n], [eqn: n^2 +kn]인 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: a_3 =b_5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[정답] [eqn: k=2`]

[eqn: S_n =kn^2 +n,~T_n = n^2 +kn`]이라 하면

[eqn: a_3 = S_3 -S_2 =(9k+3)-(4k+2)`]

[eqn: =5k+1`]

[eqn: b _{5} =T _{5} -T _{4} =(25+5k)-(16+4k)`]

[eqn: =k+9`]

이때 [eqn: a _{3} =b _{5} `]이므로

[eqn: 5k+1`=`k+9`]에서   [eqn: k=2`]

물이 어떤 여과기를 한 번 통과할 때마다 유해 물질의 양이 [eqn: 20 ``]%씩 줄어든다고 한다. 유해 물질 [eqn: rm100``g]이 포함된 물이 이 여과기를 [eqn: n]번 통과하였더니 유해 물질의 양이 [eqn: rm10``g] 이하가 되었다. [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: log``2=0.3010]으로 계산한다.)

[정답] [eqn: 11`]

여과기를 [eqn: n`]번 통과하였을 때의 유해 물질의 양을 [eqn: a _{n`}]이라 하면

[eqn: a_n = 100 times left(1- 20 over100 right)^n = 100times left( 4over5 right)^n`]

[eqn: a_n le 10`]에서   [eqn: 100times left( 4over5 right)^n le 10`]

[eqn: left( 4over5 right)^n le 1over10`]

이 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n (log`4 - log`5) le -1`]

[eqn: n (2log`2 - (1-log`2)) le -1`]

[eqn: n (3log`2 - 1) le -1`]

[eqn: n (3times 0.3010 - 1) le -1`]

[eqn: n ge 1 over0.0970 = 10 times times times`]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

3-2-1. 합의 기호 ∑

[생각 열기]

다음과 같은 수열 [eqn: left{a_n right}]이 있다.
[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: CDOTS]

[정답] ➊ [eqn: a_n =n(n+2)`]      ➋ 제 [eqn: 41`]항

➊ 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 추측해 보자.

➋  [eqn: 1+3+5+` CDOTS `+81]은 이 수열의 첫째항부터 제 몇 항까지의

합인지 말해 보자.

다음을 기호 [eqn: ∑]를 사용하여 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} 2k`]     (2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} 1over {3^k}`]

(1) [eqn: 2+4+6+` CDOTS `+20`]

(2) [eqn: {1} over {3} + {1} over {3 ^{2}} + {1} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {1} over {3 ^{n}}]

다음을 합의 꼴로 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: 13+17+21+ cdots+33] (2) [eqn: 1^3 +2^3 + 3^3 +cdots+n^3]

(1) [eqn: sum_k=3^8 (4k+1)]      (2) [eqn: sum_j=1^n` j ^3]

기호 [eqn: ∑]를 사용하면 수열의 합을 다양한 방법으로 나타낼 수 있다. 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: 12,~2k-7`]  (2) (예시) [eqn: sum _{k=1} ^{225} (4k+104),~sum _{k=27} ^{251} 4k`]

(1) 다음 등식이 성립하도록 □ 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

[eqn: sum_k=1^10 (2k-3) = sum_k=3^□ (`box~~~~~~}`)]

(2)  등차수열 [eqn: 108], [eqn: 112], [eqn: 116], [eqn: CDOTS], [eqn: 1004]의 합을 기호 [eqn: ∑]를 사용하여 다양한 방법으로 나타내고, 친구들과 비교하시오.

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]과 상수 [eqn: c]에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.

[정답] 풀이 참조

(1) [eqn: sum_k=1^n (a_k -b_k )]

[eqn: =(a_1 -b_1 )+(a_2 -b_2 )+ (a_3 -b_3 )+ cdots + (a_n -b_n )`]

[eqn: =(a_1 +a_2 + a_3 + cdots + a_n )-(b_1 +b_2 +b_3 + cdots + b_n`)`]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n} b _{k}`]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} c = UNDERBRACE {n개 } { c+c+c+`cdots`+c} =cn`]

(1) [eqn: sum_k=1^n][eqn: (a_k -b_k )][eqn: =][eqn: sum_k=1^n][eqn: a_k][eqn: -][eqn: sum_k=1^n][eqn: b_k]      (2) [eqn: sum_k=1^n][eqn: c= cn]

[eqn: sum_k=1^10 a_k =30], [eqn: sum_k=1^10 b_k =20]일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 60`]     (2) [eqn: 120`]

(1) [eqn: sum_k=1^10 (4a_k -3b_k )]        (2) [eqn: sum_k=1^10 3(a_k + b_k -1)]

[생각 넓히기]

다음과 같은 수열 [eqn: left{a_n right}]이 있다.

[정답] ❶ [eqn: 10^n -n`]     ❷ 제 [eqn: 10`]항     ❸  [eqn: 11111111055`]

[eqn: 9], [eqn: 98], [eqn: 997], [eqn: 9996], [eqn: 99995], [eqn: CDOTS], [eqn: 9999999990], [eqn: CDOTS]

❶ 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 추측해 보자.

❷ [eqn: 9999999990]은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제몇 항인지 말해 보자.

❸  등차수열 및 등비수열의 합과 기호 [eqn: ∑]의 성질을 이용하여

다음 식의 값을 구해 보자.

[eqn: 9+98+997+9996+99995+` CDOTS `+9999999990]

3-2-2. 여러 가지 수열의 합

[생각 열기]

다음은 ㈎의 빨간색 블록과 초록색 블록을 ㈏와 같이 맞춘 것이다.

[정답] 풀이 참조

빨간색 블록과 초록색 블록의 개수가 각각

[eqn: 1+ 2+ 3+ 4+5`]

이고 블록의 총개수가 [eqn: 5 times 6`]이므로

[eqn: 2(1+ 2+ 3+ 4+5) = 5 times6`]

즉, [eqn: 1+ 2+ 3+ 4+5 = {5 times6}over2`]

위의 그림으로부터 [eqn: 1+2+3+4+5= {5 times 6} over 2]이 성립함을

말해 보자.

다음은 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수의 세제곱의 합 [eqn: sum_k=1^n k^3]을 항등식

[정답] 풀이 참조

(1) [eqn: (n+1)^4 -1^4 `]

[eqn: =4 sum _{ k=1} ^{n } k^3 + 6 sum _{ k=1} ^{n } k^2 + 4sum _{ k=1} ^{n } k + n`]

[eqn: =4 sum _{ k=1} ^{n } k^3 + 6times {n(n+1)(2n+1)}over{6} + 4 times {n(n+1)}over{2} + n`]

[eqn: =4 sum _{ k=1} ^{n } k^3 + n(n+1)(2n+1)} + 2 n(n+1) + n`]

(2) [eqn: 4 sum _{ k=1} ^{n } k^3 `]

[eqn: = (n+1)^4 - n(n+1)(2n+1)} - 2 n(n+1) - (n+1)`]

[eqn: =(n+1) left{ (n+1)^3 - n(2n+1)} - 2 n -1 right} `]

[eqn: =(n+1)(n^3 +n^2 )`]

[eqn: =n^2 (n+1)^2 `]

이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } k^3 ={n^2 (n+1)^2 `}over{4} = left{ {n(n+1)}over{2} right}^2`]

[eqn: (k+1)^4 -k^4 =4k^3 +6k^2 `+4k+1]
을 이용하여 구하는 과정의 일부이다. 물음에 답하시오.

[eqn: k=1]일 때,   [eqn: 2^4 -1^4 =4 times 1^3 +6 times 1^2 `+4 times 1+1]

[eqn: k=2]일 때,   [eqn: 3^4 -2^4 =4 times 2^3 +6 times 2^2 `+4 times 2+1]

[eqn: k=3]일 때,   [eqn: 4^4 -3^4 =4 times 3^3 +6 times 3^2 `+4 times 3+1]

⋮                 ⋮

[eqn: k=n]일 때,   [eqn: (n+1)^4 -n^4 =4 times n^3 +6 times n^2 `+4 times n+1]

(1) 위의 [eqn: n]개의 등식을 변끼리 더하여 정리하시오.

(2) (1)의 결과를 이용하여 [eqn: sum_k=1^n k^3 = left{ n(n+1) over2 right}^2]이 성립함을 보이시오.

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 819`]     (2) [eqn: 14400`]

(1) [eqn: 1 ^{2} `+2 ^{2} `+3 ^{2} `+` CDOTS `+13 ^{2}]	(2) [eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +` CDOTS `+15 ^{3}]

다음 합을 구하시오.

[정답] [eqn: {n(n+1)(n+2)} over 3]

[eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 3+3 TIMES 4+` CDOTS `+n(n+1)]

[eqn: =][eqn: sum_k=1^n][eqn: k(k+1)][eqn: =][eqn: sum_k=1^n][eqn: (k^2 `+k)][eqn: =][eqn: sum_k=1^n][eqn: k^2][eqn: +][eqn: sum_k=1^n][eqn: k]
[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6 + n(n+1) over 2]
[eqn: = {n(n+1)(n+2)} over 3]

[eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 3+3 TIMES 4+` CDOTS `+n(n+1)]

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1330`]     (2) [eqn: 1260`]

(1) [eqn: sum_k=1^10 (2k-1)^2]	(2) [eqn: sum_k=1^8 k(k+1)(k-1)]

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 1480`]     (2) [eqn: 9633`]

(1) [eqn: 1 TIMES 3+2 TIMES 4+3 TIMES 5+` CDOTS `+15 TIMES 17]

(2) [eqn: 2 ^{3} +5 ^{3} +8 ^{3} +` CDOTS `+17 ^{3}]

다음 합을 구하시오.

[정답] [eqn: n over n+1]

[eqn: {1} over {1 TIMES 2} + {1} over {2 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 4} +` CDOTS `+ {1} over {n(n+1)}]

[eqn: = sum_k=1^n 1 over k(k+1) = sum_k=1^n left( 1overk - 1 overk+1 right)]

[eqn: =left(1- 1 over 2 right)+left( 1 over 2 - 1over3 right)+left( 1over3 - 1over4 right)+][eqn: CDOTS][eqn: +][eqn: left( 1 over n-1 - 1over n right)+left( 1over n - 1 over n+1 right)]

[eqn: =1- 1 over n+1 = n over n+1]

[eqn: {1} over {1 TIMES 2} + {1} over {2 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 4} +` CDOTS `+ {1} over {n(n+1)}]

다음 합을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: n over 2n+1 `]     (2) [eqn: root{n+1} -1`]

(1) [eqn: 1 over{1 times 3} + 1 over{3 times 5 }+ 1 over{5 times 7 }+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over{(2n-1)(2n+1)}]

(2) [eqn: 1 over{root2 +1 } + 1 over{root3 +root2 } + 1 over {2+root3 }+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over{root n+1 + root n}]

[생각 넓히기]

일반적으로 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제[eqn: m]항부터 제[eqn: n]항까지의 합, 즉 [eqn: sum_k=m^n a_k]는 다음과 같이 구할 수 있다. (단, [eqn: 1<m le n])

[정답] 풀이 참조

❶ [eqn: 805`]

❷ 모두 [eqn: 4^2 + 5^2 +6^2 +` cdots`+13^2`]으로 같다.

❸ [eqn: 103600`]

[eqn: sum _{k=m} ^{n} a _{k}][eqn: =a _{m} +a _{m+1} +a _{m+2} +] [eqn: CDOTS] [eqn: +a _{n}]
[eqn: =(a _{1} +a _{2} +a _{3} +] [eqn: CDOTS] [eqn: +a _{m-1} +a _{m} +a _{m+1} +] [eqn: CDOTS] [eqn: +a _{n} )]

[eqn: -(a _{1} +a _{2} +a _{3} +] [eqn: CDOTS] [eqn: +a _{m-1} )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{m-1} a _{k}]

❶ 위의 방법을 이용하여 [eqn: 4^2 `+5^2 `+6^2 `+ CDOTS +13^2]의 값을 구해 보자.

❷ [eqn: sum_k=1^10 (k+3)^2], [eqn: sum_k=2^11 (k+2)^2], [eqn: sum_k=5^14 (k-1)^2]을 합의 꼴로 나타내고

이를 비교해 보자.

❸ [eqn: 10 ^{3} +11 ^{3} +12 ^{3} +` CDOTS `+25 ^{3}]의 값을 여러 가지 방법으로 구해 보자.

[탐구융합]	그림으로 이해하는 자연수의 거듭제곱의 합
	추론 | 의사소통 | 정보 처리

그림을 이용하면 자연수의 거듭제곱의 합을 쉽고 재밌게 이해할 수 있다.

다음 그림은

[eqn: 1^3 +2^3 +3^3 =(1+2+3)^2 `]

이 성립함을 보이고 있다.

이와 같은 원리를 이용하면 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} +` CDOTS `+n ^{3} =(1+2+3+` CDOTS `+n) ^{2} `]

이 성립함을 그림을 이용하여 확인할 수 있다.

다음 그림은 [eqn: 3(1^2 `+2^2 `+3^2 `+4^2 `)=4(4+1)left(4+ 1 over 2 right)]이 성립함을 보이고 있다. 이 등식이 성립하는 원리를 설명해 보자.

[정답] 풀이 참조

[그림 [eqn: 1]]에서 한 개의 정육면체의 부피를 [eqn: 1`]이라 하면 각 입체도형의 부피는

[eqn: 1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 `]

이므로 모든 입체도형의 부피는

[eqn: 3 (1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 )`]	[eqn: cdots cdots `]①

[그림 [eqn: 1]]의 입체도형을 [그림 [eqn: 2]]와 같이 붙이고

[그림 [eqn: 3]]과 같이 [그림 [eqn: 2]]의 맨 위층을 반으로 잘라

[그림 [eqn: 4]]와 같이 붙여 보자.

이때 [그림 [eqn: 4]]의 가장 큰 정육면체에서 부피가 [eqn: 1`]인 정육면체는 가로에 [eqn: (4+1)`]개, 세로에 [eqn: 4`]개, 높이로 [eqn: left( 4+ 1over2 right)`]개가 있으므로 가장 큰 정육면체의 부피는

[eqn: 4(4+1)left( 4+ 1over2 right)`]	[eqn: cdots cdots `]②

①, ② 에서

[eqn: 3 (1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 ) = 4(4+1)left( 4+ 1over2 right)`]

위의 원리를 이용하여
[eqn: 1 ^{2} `+2 ^{2} `+3 ^{2} `+` CDOTS `+n ^{2} `= {n(n+1)(2n+1)} over {6}]
이 성립함을 설명해 보자.

[정답] 풀이 참조

[eqn: 3 (1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 ) = 4(4+1)left( 4+ 1over2 right)`]에서

[eqn: 1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2 = {4(4+1)left( 4+ 1over2 right)}over3]

[eqn: = {4(4+1)(2 times 4 +1)}over{6}`]

따라서 같은 방법으로

[eqn: 1^2 + 2^2 +3^2 + `cdots ` + n^2 = {n(n+1)(2 n +1)}over{6}`]

임을 알 수 있다.

중단원 마무리하기

[기본]

다음을 기호 [eqn: ∑]를 사용하여 나타내시오.

[정답] (1) [eqn: sum _{ k=1} ^{9 } 3k `]  (2) [eqn: sum _{k=1} ^{30} (2k+3)`]  (3) [eqn: sum _{k=1} ^{10} {k}over{(k+1)(k+2)}`]

(1) [eqn: 3+6+9+] [eqn: CDOTS] [eqn: +27]

(2) [eqn: 5+7+9+] [eqn: CDOTS] [eqn: +63]

(3) [eqn: 1 over{2 times 3} + 2 over{3 times 4} + 3 over{4 times 5 }+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 10 over{11 times 12}]

[eqn: sum_k=1^15 a_k =25], [eqn: sum_k=1^15 b_k =12]일 때, 다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: -13`]      (2) [eqn: 71`]

(1) [eqn: sum_k=1^15 (b_k -a_k )]

(2) [eqn: sum_k=1^15 (2a_k + 3b_k -1 )]

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 60`]      (2) [eqn: 403`]     (3) [eqn: 172`]     (4) [eqn: 270`]

(1) [eqn: sum_k=1^10 (2k-5)]

(2) [eqn: sum_k=1^13 (3k+5)+ sum_k=1^13 (k-2)]

(3) [eqn: sum_k=1^8 (k+2)(k-2)]

(4) [eqn: sum_k=1^5 (k^3 +3k)]

[eqn: sum_k=1^100 1 over{(k+1)(k+2)}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25over51`]

[표준]

[eqn: sum_k=1^10 a_k =5], [eqn: sum_k=1^10 a_k`^2 =10]일 때, [eqn: sum_k=1^10 (2a_k -3)^2]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 70`]

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 270`]      (2) [eqn: 45`]     (3) [eqn: 3080`]     (4) [eqn: 119`]

(1) [eqn: sum_k=1^30 (k+3)^2 - sum_k=1^30 k(k+6)]	(2) [eqn: sum_k=1^5 k^3 overk+1 + sum_k=1^5 1 overk+1]

(3) [eqn: sum_m=1^20 left{ sum_l=1^m left( sum_k=1^l 2 right) right}]	(4) [eqn: sum_k=1^9 (1-k^2 ) + sum_k=1^10 (1+k^2 )]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[정답] [eqn: 400`]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n} left(a_2k-1 + a_2k right)`]

[eqn: =(a_1 + a_2 )+(a_3 +a_4 )+(a_5 +a_6 )+`cdots`+(a_2n-1 +a_2n )`]

[eqn: =a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2n} = sum _{ k=1} ^{ 2n} a_k`]

즉, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 2n} a_k = 2n^2 `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} =2 TIMES 15 ^{2} =450,~````` sum _{k=1} ^{10} a _{k} =2 TIMES 5 ^{2} =50`]

[eqn: sum _{k=11} ^{30} a _{k} = sum _{k=1} ^{30} a _{k} -sum _{k=1} ^{10} a _{k}=450-50=400`]

[eqn: sum_k=1^n (a_2k-1 +a_2k )=2n^2]

이 성립할 때, [eqn: sum_k=11^30 a_k]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

다음 수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: n over 3n+1 `]    (2) [eqn: 2n over n+1`]

(1) [eqn: 1 over{1 times 4}], [eqn: 1 over{4 times 7], [eqn: 1 over {7 times 10}], [eqn: 1 over {10 times 13], [eqn: CDOTS], [eqn: 1 over{(3n-2)(3n+1)]

(2) [eqn: 1], [eqn: 1 over 1+2], [eqn: 1 over 1+2+3], [eqn: CDOTS], [eqn: {1} over {1+2+3+4+` CDOTS `+n}]

다음 식의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4`]

[eqn: 1 over{1+root3 } + 1 over{root3 + root5} + 1 over{ root5 + root7}+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over{root79 +root81}]

[발전]

[eqn: sum_k=1^30 `log_5 ``left{ log_k+1 `(k+2 ) right}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 1`]

[eqn: sum_k=1^30 `log_5 ``left{ log_k+1 `(k+2 ) right}]

[eqn: =log _{5} (log _{2} 3)+log _{5} (log _{3} 4)+log _{5} (log _{4} 5)+` CDOTS `+log _{5} (log _{31} 32)`]

[eqn: =log _{5} (log _{2} 3 times log _{3} 4 timeslog _{4} 5 times` CDOTS `times log _{31} 32)`]

[eqn: =log _{5} LEFT ( {log3} over {log2} TIMES {log4} over {log3} TIMES {log5} over {log4} TIMES ` CDOTS ` TIMES {log32} over {log31} RIGHT )]

[eqn: =log _{5} LEFT ( {log32} over {log2} RIGHT ) = log_5 (log_2 32)`]

[eqn: = log_5 left(log_2 2^5 right) =log_5 5`]

[eqn: =1`]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[정답] [eqn: 7`]

[eqn: sum_k=1^99 k(a_k -a_k+1 )`]

[eqn: =(a _{1} -a _{2} )+2(a _{2} -a _{3} )+3(a _{3} -a _{4} )+` CDOTS `+99(a _{99} -a _{100} )`]

[eqn: =a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{99} - 99a_100 `]

[eqn: =sum_k=1^99 a_k -99a_100 = 16-99 times 1over11`]

[eqn: =16-9`]

[eqn: =7`]

[eqn: sum_k=1^99 a_k =16], [eqn: a_100 = 1over11]

일 때, [eqn: sum_k=1^99 k(a_k -a_k+1 )]의 값을 구하시오.

등식

[정답] [eqn: 3`]

수열 [eqn: 1timesn,~2times (n-1),~3 times (n-2),~cdots`]의 제 [eqn: k`]항은

[eqn: a_k = k(n-(k-1)) = k (n-k+1)`]

이때 주어진 합은 수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합과 같으므로

[eqn: 1timesn +2times (n-1)+3 times (n-2)+`cdots`+(n-1)times2 + n times1`]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{ n}a_k = sum _{ k=1} ^{ n} k(n-k+1)`]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{ n} (nk-k^2 +k)`]

[eqn: =n times {n(n+1)}over2 - {n(n+1)(2n+1)}over6 + {n(n+1)} over2 `]

[eqn: ={n(n+1)(n+2)}over6 `]

따라서 [eqn: a=1,~b=2`] 또는 [eqn: a=2,~b=1`]이므로 [eqn: a+b=3`]

[eqn: 1 times n+2 times (n-1)+3 times (n-2)+] [eqn: CDOTS] [eqn: +(n-1) times 2+n times 1]

[eqn: = {n(n+a)(n+b)} over 6]

가 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

다음과 같이 자연수를 나열할 때, [eqn: n]행에 나열되는 수들의 합을 [eqn: a_n]이라 하자. 이때 [eqn: sum_k=1^10 a_k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 1705`]

[eqn: n`]행에 나열되는 수들의 합은 첫째항이 [eqn: n,] 공차가 [eqn: n`]인 등차수열의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합이다.

따라서 등차수열의 합의 공식에 의하여

[eqn: a_n = {n left{ 2n+(n-1) times n right}} over2 ={n^3 +n^2 }over2`]

이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 } a_k = sum _{ k=1} ^{10 } {k^3 +k^2 }over2`]

[eqn: = 1over2 left{ left( {10 times 11}over2 right)^2 +{10 times 11times21}over6 right}`]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 3025+385 RIGHT) `]

[eqn: =1705`]

3-3-1. 수열의 귀납적 정의

[생각 열기]

정삼각형 모양의 종이가 있다. 다음 그림과 같이 각 변의 중점을 이어서 만든 삼각형 중에서 한가운데 정삼각형을 오려 내고, 또다시 남아 있는 정삼각형 모양의 종이에서도 같은 방법으로 각각의 한가운데 정삼각형을 오려 낼 때, [eqn: n]단계에서 남아 있는 정삼각형의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자.

[정답] ➊ [eqn: 9,~27,~81`]     ➋ [eqn: a_n+1 = 3 a_n`]

➊ 다음 표를 완성해 보자.

단계 ([eqn: n])	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: CDOTS]
정삼각형의 개수 ([eqn: a_n])	[eqn: 1]	[eqn: 3]

➋ [eqn: a _n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계를 추측해 보자.

[eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 =a_n +3n]과 같이 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_4]를 구하시오. (단, [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

[정답] [eqn: 20`]

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_31]을 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 91`]     (2) [eqn: 2 times 5^30`]

(1) [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =a_n +3``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

(2) [eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 =5a_n ``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_10]을 구하시오.

[정답] [eqn: 1023]

[eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]을 관계식 [eqn: a_n+1 =2a_n +1]에 차례대로 대입하면

[eqn: a_2 =2a_1 +1=2+1]

[eqn: a_3 =2a_2 +1=2(2+1)+1=2^2 `+2+1]

[eqn: a_4 =2a_3 +1=2(2^2 `+2+1)+1=2^3 +2^2 `+2+1]

⋮

[eqn: a_10 =2a_9 +1=2^9 +2^8 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +2+1= {2^10 -1} over 2-1 =1023]

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =2a_n +1``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

[eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 = 1 over 2 a_n +1]과 같이 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_10]을 구하시오. (단, [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

[정답] [eqn: 2`]

[탐구융합]	실생활에서 수열의 귀납적 정의 찾아보기
	추론 | 태도 및 실천

명절 때 만난 친척들이나 모임에 참석한 사람들과 서로 악수하며 반갑게 인사를 나누는데, 악수하는 횟수는 사람 수가 많지 않아도 계산하는 것이 쉽지 않다. 이때 수열의 귀납적 정의를 이용하면 계산을 쉽게 할 수 있다.

어느 부부 동반 모임에 참석한 사람들은 서로 악수를 할 때 다음 규칙을 따른다고 한다.

[정답] (1) [eqn: a_1 =0], [eqn: a_2 =4] (2) [eqn: a_n+1 =a_n +4n``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS])

(1) 부부끼리는 악수하지 않으므로	[eqn: a_1 =0]
두 쌍의 부부가 악수하는 횟수는	[eqn: a_2 =4]

(2)  [eqn: n]쌍의 부부가 악수한 횟수는 [eqn: a_n]이고, 나중에 온 [eqn: (n+1)]번째 부부

[eqn: 2]명은 먼저 와 있던 [eqn: n]쌍의 부부 [eqn: 2n]명과 각각 한 번씩 악수하게

되므로

[eqn: a_n+1 =a_n +2 times 2n=a_n +4n``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

㈎ 부부끼리는 악수하지 않는다.

㈏ 부부가 아닌 사람끼리는 반드시 악수한다.

[eqn: n]쌍의 부부가 모인 모임에서 이루어진 악수의 총횟수를 [eqn: a_n]이라 하자.

(1) [eqn: a_1]과 [eqn: a_2]를 구해 보자.

(2)  [eqn: n]쌍의 부부가 악수한 후 다른 한 쌍의 부부가 더 왔을 때 악수를 몇 번 더 하게 되는지 알아보고, [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식을 구해 보자.

어느 여행 동호회 모임에 참석한 회원이 모두 한 번씩 악수하였다. 이때 [eqn: n]명의 회원이 모인 모임에서 이루어진 악수의 총횟수를 [eqn: a_n]이라 하자.

[정답] (1) [eqn: a_n+1 =a_n +n~(n=1,~2,~3,`cdots)`]   (2) [eqn: 45`]

(1) [eqn: n]명이 악수한 후 한 명의 회원이 더 왔을 때, [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의

관계식을 구해 보자.

(2) (1)의 결과를 이용하여 [eqn: a_10]을 구해 보자.

3-3-2. 수학적 귀납법

[생각 열기]

다음 그림은 각 단계별로 원판의 개수를 늘려 정사각형 모양으로 배열한 것이다.

[정답] ➊ [eqn: 1,~2,~3,~4`]     ➋ [eqn: n`]

➊ 위의 그림을 보고 □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: 1= box{~~`}`^2]

[eqn: 1+3= box{~~`}`^2]

[eqn: 1+3+5= box{~~`}`^2]

[eqn: 1+3+5+7= box{~~`}`^2]

⋮

➋ ➊을 이용하여 다음 등식에서 □ 안에 알맞은 것을 추측해 보자.

[eqn: 1+3+5+7+` CDOTS `+(2n-1)= {BOX{~~`}} ` ^{2}]

[함께하기]

다음은 등식

[정답] [eqn: 1,~1,~k^2 ,~(k+1)^2 `]

[eqn: 1+3+5+7+] [eqn: CDOTS] [eqn: +(2n-1)=n^2]   [eqn: CDOTS CDOTS] ①

이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립함을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: = box{~~`}], (우변)[eqn: = box{~~`}]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+3+5+] [eqn: CDOTS] [eqn: +(2k-1)=k^2 `]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 1+3+5+] [eqn: CDOTS] [eqn: +(2k-1)+(2k+1)]

[eqn: =left{1+3+5+] [eqn: CDOTS] [eqn: +(2k-1)right}+(2k+1)]

[eqn: = box{~~`}`+(2k+1)]

[eqn: = box{~~~~~`}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[정답] 풀이 참조

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =1^2 `=1],  (우변)[eqn: = {1 times 2 times 3} over 6 =1]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1^2 `+2^2 `+3^2 `+] [eqn: CDOTS] [eqn: +k^2 `= {k(k+1)(2k+1)} over 6]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 1^2 `+2^2 `+3^2 `+] [eqn: CDOTS] [eqn: +k^2 `+(k+1)^2 `]

[eqn: = {k(k+1)(2k+1)} over 6 +(k+1)^2]
[eqn: = k+1 over 6 left{k(2k+1)+6(k+1) right}]
[eqn: = {(k+1)(k+2)(2k+3)} over 6]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

[eqn: 1^2 `+2^2 `+3^2 `+] [eqn: CDOTS] [eqn: +n^2 `= {n(n+1)(2n+1)} over 6]   [eqn: CDOTS CDOTS] ①

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[정답] 풀이 참조

(1) [eqn: 1 times 2+2 times 3+3 times 4+ `cdots`+n(n+1)]

[eqn: ={ n(n+1)(n+2)} over 3]  [eqn: CDOTS cdots`]①

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: (좌변)=1times2=2], [eqn: (우변)= {1} over {3} TIMES 1 TIMES 2 TIMES 3=2]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ① 이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, 등식 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 3+3 TIMES 4+` CDOTS `+k(k+1)]

[eqn: = {1} over {3} k(k+1)(k+2)`] [eqn: CDOTS CDOTS `]②

등식 ②의 양변에 [eqn: (k+1)(k+2)]를 더하면

[eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 3+3 TIMES 4+` CDOTS `+k(k+1)+(k+1)(k+2)]

[eqn: ={1}over{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)]

[eqn: ={1}over{3}(k+1)(k+2)(k+3)]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 등식 ①이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 등식 ①은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

(2) [eqn: 1 over{1 times 2} + 1 over{2 times 3} + 1 over {3 times 4} +] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over n(n+1) = n over n+1]  [eqn: CDOTS cdots`]①

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: = 1over2], (우변)[eqn: = 1over2]
따라서 [eqn: n=1]일 때 ① 이 성립한다.
(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ① 이 성립한다고 가정하면
[eqn: {1} over {1 TIMES 2} + {1} over {2 TIMES 3} +` CDOTS `+ {1} over {k(k+1)} = {k} over {k+1}]
양변에 [eqn: {1} over {(k+1)(k+2)}]을 더하면
[eqn: {1} over {1 TIMES 2} + {1} over {2 TIMES 3} +` CDOTS `+ {1} over {k(k+1)} + {1} over {(k+1)(k+2)}`]
[eqn: = {k} over {k+1} + {1} over {(k+1)(k+2)} = {k+1} over {k+2}]
따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ① 이 성립한다.
(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ① 이 성립한다.

(1) [eqn: 1 times 2+2 times 3+3 times 4+] [eqn: CDOTS] [eqn: +n(n+1)={ n(n+1)(n+2)} over 3]

(2) [eqn: 1 over{1 times 2} + 1 over{2 times 3} + 1 over {3 times 4} +] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over n(n+1) = n over n+1]

[eqn: h>0]일 때, [eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[정답] 풀이 참조

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =(1+h)^2 `=1+2h+h^2],  (우변)[eqn: =1+2h]

이때 [eqn: h^2 `>0]이므로, [eqn: n=2]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k `(k ge 2)]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: (1+h)^k `>1+kh]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: (1+h)^k+1][eqn: =(1+h)(1+h)^k]
[eqn: >(1+h)(1+kh)=1+(k+1)h+kh^2 `]
[eqn: >1+(k+1)h]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

[eqn: (1+h)^n >1+nh]    [eqn: CDOTS CDOTS] ①

[eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[정답] 풀이 참조

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {n} > {2n} over {n+1}]	[eqn: cdots cdots `]①

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때

(좌변)[eqn: =1+ 1over2 = 3over2`]

(우변)[eqn: = 2times2 over2+1 = 4over3`]

이때 [eqn: 3over2 > 4over3 `]이므로, [eqn: n=2`]일 때, ① 이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k``(k ge 2 )`]일 때 ① 이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} > {2k} over {k+1}]

[eqn: n=k+1`]일 때

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + 1overk+1`]

[eqn: > 2k over k+1 + 1over k+1 = 2k+1 over k+1`]

이때 [eqn: k ge 2`]이므로

[eqn: {2k+1} over {k+1} - {2(k+1)} over {k+2} `]

[eqn: ={(2k+1)(k+2) -2(k+1)^2}over{(k+1)(k+2)}`]

[eqn: = k over{(k+1)(k+2)} >0`]

에서 [eqn: 2k+1 over k+1 > {2(k+1)}over k+2`]

즉, [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + 1 over k+1 > {2(k+1)} over {k+2}`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ① 이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ① 이 성립한다.

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {n} > {2n} over {n+1}]

[생각 넓히기]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n `>n^2]이 성립하는지 알아보려고 한다.

[정답] 풀이 참조

❶

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]
[eqn: 2^n]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	[eqn: 16]	[eqn: 32]	[eqn: 64]	[eqn: 128]	[eqn: 256]
[eqn: n^2]	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 9]	[eqn: 16]	[eqn: 25]	[eqn: 36]	[eqn: 49]	[eqn: 64]

❷ [eqn: 5`]

❸ [eqn: 2^n >n^2]	[eqn: cdots cdots `]①

(ⅰ) [eqn: n=5]일 때,

(좌변)[eqn: =32>25=](우변)
따라서 [eqn: n=5]일 때 ① 이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k(k geq 5)]일 때, ① 이 성립한다고 가정하면

[eqn: 2^k >k^2]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면  [eqn: 2^k+1 >2k^2]

그런데 [eqn: k geq 5]이므로

[eqn: 2k^2 - (k+1)^2 =k^2 -2k-1>0]

즉,  [eqn: 2^k+1 > (k+1)^2]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ① 이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n geq 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ① 이 성립한다.

❶ 다음 표를 완성해 보자.

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]
[eqn: 2^n]
[eqn: n^2]

❷ [eqn: n ge m]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n `>n^2]이 항상

성립하도록 하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값 [eqn: m_0]을 추측해 보자.

❸ [eqn: n ge m_0]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n `>n^2]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명해 보자.

중단원 마무리하기

[기본]

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_5]를 구하시오.

[정답] (1) [eqn: 22]   (2) [eqn: 2over3`]   (3) [eqn: 19`]   (4) [eqn: 26`]

(단, [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

(1) [eqn: a_1 =2], [eqn: a_n+1 -a_n =5]

(2) [eqn: a_1 =54], [eqn: a_n+1 =- 1over3 a_n]

(3) [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =a_n +n+2]

(4) [eqn: a_1 =0], [eqn: a_n+1 =a_n `^2 `+1]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] (가) [eqn: 2`]   (나) [eqn: 2`]   (다) [eqn: k`]   (라) [eqn: k(k+1)`]

[eqn: 2+4+6+] [eqn: CDOTS] [eqn: +2n=n(n+1)] …… ①

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

㈎ ~ ㈑에 알맞은 것을 구하시오.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =box{``` ㈎ ```], (우변)[eqn: = box{```㈏```]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n= box{```㈐ ```]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: 2+4+6+] [eqn: CDOTS] [eqn: +2k=k(k+1)]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 2+4+6+] [eqn: CDOTS] [eqn: +2k+(2k+2)]

[eqn: = box{```㈑```}` +2(k+1)]

[eqn: =(k+1)(k+2)]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

[표준]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

[정답] [eqn: 14`]

[eqn: a_1 =50], [eqn: a_n+1 -a_n =-3 ``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

으로 정의될 때, [eqn: a_k =11]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

물 [eqn: rm120``L]가 들어 있는 어느 수족관에 매일 전날의 물의 [eqn: 1over3]을 퍼내고 [eqn: rm30``L]의 물을 새로 넣는다. [eqn: n]일 후 수족관에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n][eqn: rm``L]라 할 때, [eqn: a_1]을 구하고, [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식을 찾으시오.

[정답] [eqn: a_1 =110,~a_n+1 = 2 over3 a_n +30~(n=1,~2,~3,``cdots)`]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =100]이고

[정답] [eqn: -16`]

[eqn: (a_n+1 +a_n )^2 `=4a_n a_n+1 +16 ``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

이 성립할 때, [eqn: a_30]을 구하시오.
(단, [eqn: a_1 >a_2 >a_3 >] [eqn: CDOTS] [eqn: >a_n >] [eqn: CDOTS])

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] 풀이 참조

[eqn: 1 over{1 times 3} + 1 over{3 times 5 }+ 1 over{5 times 7 }+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over{(2n-1)(2n+1)} = n over 2n+1] [eqn: cdots cdots `]①

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때

(좌변)[eqn: = 1over{1times3} = 1over3`]

(우변)[eqn: = 1 over{2times1+1} = 1over3`]

따라서 [eqn: n=1`]일 때 ① 이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 ① 이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 over{1 times 3} + 1 over{3 times 5 }+`cdots`+ 1over{(2k-1)(2k+1)} = k over{2k+1}`]

[eqn: n=k+1`]일 때

[eqn: 1 over{1 times 3} + 1 over{3 times 5 }+`cdots`+ 1over{(2k-1)(2k+1)} + 1over{(2k+1)(2k+3)}`]

[eqn: = k over{2k+1} + 1over{(2k+1)(2k+3)}`]

[eqn: = {k(2k+3)+1}over{(2k+1)(2k+3)}= {(2k+1)(k+1)}over{(2k+1)(2k+3)} `]

[eqn: = k+1 over 2k+3`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ① 이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ① 이 성립한다.

[eqn: 1 over{1 times 3} + 1 over{3 times 5 }+ 1 over{5 times 7 }+] [eqn: CDOTS] [eqn: + 1 over{(2n-1)(2n+1)} = n over 2n+1]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] (가) [eqn: 2`]   (나) [eqn: k+4]   (다) [eqn: k+4`]   (라) [eqn: k+1`]

[eqn: (n+3)! over 8 >2^n]    [eqn: CDOTS CDOTS] ①

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. ㈎ ~ ㈑에 알맞은 것을 구하시오.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: = 4! over 8 =3],  (우변)[eqn: = box{```㈎```]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: (k+3)! over 8 >2^k]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: (k+4)! over 8][eqn: =(`box{``` ㈏ ```}`) times (k+3)! over 8]
[eqn: >(`box{``` ㈐```}` ) times 2^k`=k times 2^k`+2^k+2]
[eqn: >2^k+1]

따라서 [eqn: n= box{```㈑ ```]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

[발전]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 =9^n ` a_n ``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])으로 정의될 때, [eqn: log_3 ``a_10]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 90`]

[eqn: a_1 =1`]

[eqn: a_2 = 9^1 times a_1 =9^1`]

[eqn: a_3 = 9^2 times a_2 = 9^2 times 9^1 = 9^1+2 `]

[eqn: a _{4} =9 ^{3} TIMES a _{3} =9 ^{3} TIMES 9 ^{1+2} =9 ^{1+2+3} `]

[eqn: a _{5} =9 ^{4} TIMES a _{4} =9 ^{4} TIMES 9 ^{1+2+3} =9 ^{1+2+3+4} `]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{10} =9 ^{1+2+3+`cdots`+9}= 9^45 `]

이므로

[eqn: log_3 `a_10 = log_3 `9^45 = log_3 (3^2 )^45`]

[eqn: =log_3 `3^90`]

[eqn: =90`]

다음을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[정답] 풀이 참조

(1) (ⅰ) [eqn: n=1`]일 때 [eqn: 4^1 -1=3`]은 [eqn: 3`]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=1`]일 때 [eqn: 4^n -1`]은 [eqn: 3`]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 [eqn: 4^6k -1`]이 [eqn: 3`]의 배수라 가정하면

[eqn: 4^k -1 =3m`] ([eqn: m`]은 자연수)

이므로   [eqn: 4^k = 3m+1`]

[eqn: n=k+1`]일 때

[eqn: 4^k+1 -1 = 4 times 4^k -1 = 4(3m+1)-1`]

[eqn: =4 times 3m +3`]

[eqn: =3(4m+1)`]

이므로 [eqn: 4^k+1 -1`]도 [eqn: 3`]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 4^n -1`]은

[eqn: 3`]의 배수이다.

(2) [eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n}]      [eqn: CDOTS cdots`]①

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때,

(좌변)[eqn: = 5 over 4 < 3over2 =](우변)
따라서 [eqn: n=2]일 때 ① 이 성립한다.
(ⅱ) [eqn: n=k(k geq 2)]일 때, ① 이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {k ^{2}} <2- {1} over {k}]
양변에 [eqn: 1 over (k+1)^2]을 더하면
[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {k ^{2}} + {1} over {(k+1) ^{2}}<2- {1} over {k} + {1} over {(k+1) ^{2}}]
그런데 [eqn: k geq 2]이므로
[eqn: LEFT { 2- {1} over {k} + {1} over {(k+1) ^{2}} RIGHT } - LEFT ( 2- {1} over {k+1} RIGHT )# =- {1} over {k(k+1) ^{2}} <0]
즉, [eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {k ^{2}} + {1} over {(k+1) ^{2}}`<2- {1} over {k+1}]
따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ① 이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

① 이 성립한다.

(1) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4^n `-1]은 [eqn: 3]의 배수이다.

(2) [eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {n ^{2}} <2- {1} over {n}]이다.

대단원 평가하기

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_10 =16], [eqn: a_25 =91]일 때 [eqn: a_5 -a_3]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 10`]

제[eqn: 4]항이 [eqn: 7], 제[eqn: 11]항이 [eqn: 21]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 20]항까지의 합은?

[정답] ④

① [eqn: 355]	② [eqn: 370]	③ [eqn: 385]

④ [eqn: 400]	⑤ [eqn: 415]

첫째항이 [eqn: 31], 공차가 [eqn: -5]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 112`]

주어진 등차수열의 일반항은

[eqn: a_n = 31 +(n-1)times(-5) = -5n+36`]

[eqn: -5n+36 <0`]에서

[eqn: n> 36over5 =7.2`]

즉, 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 제 [eqn: 8`]항부터 음수이므로 첫째항부터 제 [eqn: 7`]항까지의 합이 최대이다.

이때 [eqn: a_7 = -5 times 7 + 36 =1`]이므로 [eqn: S_n`]의 최댓값은

[eqn: S_7 ={7 times(31+1)}over{2} = 112`]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 a_3 a_8 =27]일 때, [eqn: a_4]를 구하시오.

[정답] [eqn: 3`]

등비수열
[eqn: 2], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: CDOTS], [eqn: a_8], [eqn: 32]
에 대하여 [eqn: 3` log_2 ``a_3]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 7`]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형이 있다. 첫 번째 시행에서 오른쪽 그림과 같이 정사각형을 [eqn: 9]등분 하여 가운데 정사각형을 제거한다. 두 번째 시행에서는 남은 [eqn: 8]개의 정사각형을 각각 [eqn: 9]등분 하여 가운데 정사각형을 제거한다. 이와 같은 시행을 계속할 때, [eqn: 12]번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는?

[정답] ②

한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형의 넓이가 [eqn: 9`]이므로

첫 번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는

[eqn: 9 TIMES {8} over {9} `]

두 번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는

[eqn: 9 TIMES {8} over {9} times 8 over9 = 9 times left( 8over9 right)^2 `]

세 번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는

[eqn: 9 times left( 8over9 right)^2 times 8over9 = 9 times left( 8over9 right)^3 `]

[eqn: VDOTS]

[eqn: n`]번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는   [eqn: 9 times left( 8over9 right)^n `]

따라서 [eqn: 12`]번째 시행 후 남아 있는 부분의 넓이는

[eqn: 9 times left( 8over9 right)^12 = {8^12}over{9^11}`]

이므로 옳은 것은 ②이다.

① [eqn: 8^10 over9^10]	② [eqn: 8^12 over9^11]	③ [eqn: 8^12 over9^13]

④ [eqn: 1over9^11]	⑤ [eqn: 1over9^12]

세 수 [eqn: a], [eqn: 5], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a^2 `+b^2]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 68`]

공비가 [eqn: 2], 제[eqn: n]항이 [eqn: 400]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 750]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 4`][정답]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =10], [eqn: a_20 =30]일 때,

[정답] [eqn: 20`]

[eqn: sum_k=1^19 a_k+1 - sum_k=2^20 a_k-1]의 값을 구하시오.

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n +a_n+1 =n``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])이 성립할 때, [eqn: sum_k=1^20 a_k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 100`]

오른쪽 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x]와 [eqn: x=10] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 속한 점 중에서 [eqn: x], [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수는? (단, 경계선은 포함한다.)

[정답] ④

주어진 부분에 속한 점 중에서 [eqn: x,~y`]좌표가 모두 자연수인 점을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로

[eqn: x=1`]일 때,

[eqn: (1,~1)`]의 [eqn: 1`]개

[eqn: x=2`]일 때,

[eqn: (2,~1),~(2,~2)`]의 [eqn: 2`]개

[eqn: x=3`]일 때,

[eqn: (3,~1),~(3,~2),~(3,~3)`]의 [eqn: 3`]개

[eqn: VDOTS]

[eqn: x=10`]일 때,

[eqn: (10,~1),~(10,~2),~(10,~3),` cdots`,(10,~10)`]의 [eqn: 10`]개

따라서 구하는 점의 개수는

[eqn: 1+2+3+`cdots`+10 = sum _{ k=1} ^{10 } k = 10times11 over 2 `]

[eqn: =55`]

이므로 옳은 것은 ④이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 66]

수열
[eqn: 1], [eqn: root2 -1], [eqn: root3 -root2], [eqn: CDOTS], [eqn: rootn - rootn-1], [eqn: CDOTS]
의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때,
[eqn: sum_k=1^n S_k`^4 = {28(2n+1)} over 3]이다. [eqn: n]의 값은?

[정답] ③

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다음 식의 값을 구하시오.
[eqn: {1} over {2 ^{2} `-1} + {1} over {4 ^{2} `-1} + {1} over {6 ^{2} `-1} +` CDOTS `+ {1} over {20 ^{2} `-1}]

[정답] [eqn: 10over21`]

수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: a_1 =1], [eqn: na_n+1 =2(n+1)a_n ``]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])
으로 정의될 때, [eqn: a_6]을 구하시오.

[정답] [eqn: 192`]

평면 위의 어느 두 직선도 평행하지 않고, 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않도록 [eqn: n]개의 직선을 그을 때, 이 [eqn: n]개의 직선으로 나누어지는 영역의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. 예를 들어 오른쪽 그림에서 [eqn: a_3 =7]이다. 이때 [eqn: a_7]을 구하시오.

[정답] [eqn: 29`]

[eqn: n`]개의 직선에 [eqn: 1`]개의 직선을 추가하면 이 직선은 기존의 [eqn: n`]개의 직선과 각각 한 번씩 만나므로 [eqn: (n+1)`]개의 새로운 영역이 생긴다.

즉, [eqn: (n+1)`]개의 직선으로 나누어지는 영역은 [eqn: n`]개의 직선으로 나누어지는 영역보다 [eqn: (n+1)`]개가 많으므로

[eqn: a_n+1 = a_n +n+1~(n=1,~2,~3,~cdots)`]

[eqn: a_3 =7`]이므로

[eqn: a_4 =a_3 +3+1 = 7+4=11`]

[eqn: a_5 = a_4 +4+1=11+5=16`]

[eqn: a_6 = a_5 +5+1 =16 +6=22`]

[eqn: a_7 = a_6 +6+1=22+7 =29`]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^2n `-1]이 [eqn: 8]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

[정답] ②

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 [eqn: 3^2 `-1=8]은 [eqn: 8]의 배수이다.
따라서 [eqn: n=1]일 때 [eqn: 3^2n -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 [eqn: 3^2k -1]이 [eqn: 8]의 배수라 가정하면
[eqn: 3^2k -1=8m``]([eqn: m]은 자연수)
이므로 [eqn: 3^2k =8m+1]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 3^2(k+1) -1][eqn: = box{```㈎ ```}` times 3^2k -1]
[eqn: = box{```㈏ ```}`(9m+1)]

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: 3^2n -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^2n -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 수의 합은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 36]

다음은 [eqn: a], [eqn: b]가 양수일 때, [eqn: 2] 이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: (a+b)^n `>a^n `+b^n]    [eqn: CDOTS CDOTS] ①
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. ㈎, ㈏에 알맞은 것을 구하시오.

[정답] (가) [eqn: >]     (나) [eqn: a^k b+ ab^k`]

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =(a+b)^2],  (우변)[eqn: =a^2 `+b^2]

이때 [eqn: a], [eqn: b]가 양수이므로

[eqn: (a+b)^2 `-(a^2 `+b^2 `)=2ab `box{```㈎ ```}`0]

따라서 [eqn: n=2]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k``(k ge 2)]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: (a+b)^k`>a^k`+b^k]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: (a+b)^k+1][eqn: =(a+b)^k` (a+b)]
[eqn: >(a^k`+b^k`)(a+b)]

이때 [eqn: a], [eqn: b]가 양수이므로

[eqn: (a^k`+b^k`)(a+b)-(a^k+1 +b^k+1 )]

[eqn: =box{~~㈏ ~~}`>0]

즉, [eqn: (a+b)^k+1 >a^k+1 +b^k+1]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: a], [eqn: b]가 양수일 때, [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

수열 [eqn: left{a_n right}]이 첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열일 때,
[eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{2}}} + {1} over {sqrt {a _{2}} + sqrt {a _{3}}} +` CDOTS `+ {1} over {sqrt {a _{12}} + sqrt {a _{13}}}]
의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3over2`]

수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 1,] 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이므로 일반항은

[eqn: a_n = 1+(n-1) times 4 = 4n-3`]

주어진 식을 유리화하면

[eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{2}}} + {1} over {sqrt {a _{2}} + sqrt {a _{3}}} +` CDOTS `+ {1} over {sqrt {a _{12}} + sqrt {a _{13}}}]

[eqn: = {sqrt {a _{2}} - sqrt {a _{1}}} over {a _{2} -a _{1}} + {sqrt {a _{3}} - sqrt {a _{2}}} over {a _{3} -a _{2}} +` CDOTS `+ {sqrt {a _{13}} - sqrt {a _{12}}} over {a _{13} -a _{12}} `]

이때 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이므로

[eqn: a_2 - a_1 = a_3 -a_2 = `cdots`=a_13 - a_12 =4`]

이다. 따라서

[eqn: {sqrt {a _{2}} - sqrt {a _{1}}} over {a _{2} -a _{1}} + {sqrt {a _{3}} - sqrt {a _{2}}} over {a _{3} -a _{2}} +` CDOTS `+ {sqrt {a _{13}} - sqrt {a _{12}}} over {a _{13} -a _{12}} `]

[eqn: = {sqrt {a _{2}} - sqrt {a _{1}}} over {4} + {sqrt {a _{3}} - sqrt {a _{2}}} over {4} +` CDOTS `+ {sqrt {a _{13}} - sqrt {a _{12}}} over {4} `]

[eqn: = {sqrt {a _{13}} - sqrt {a _{1}}} over {4} `]

[eqn: a_n =4n-3`]에서

[eqn: a_1 =1,~a_13 = 4times13-3=49`]

이므로 주어진 식의 값은

[eqn: {root49 - root1}over{4} = 7-1 over4 = 3 over2 `]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서
[eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{10} =8],
[eqn: a _{11} +a _{12} +` CDOTS `+a _{20} =24]
일 때, [eqn: a _{21} +a _{22} +` CDOTS `+a _{30}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 72`]

등비수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a,] 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_n =ar^n-1`]

[eqn: a_1 + a_2 + `cdots`+ a_10 =8`]에서

[eqn: a+ar+ `cdots `+ar^9 = a(1+r+ `cdots`+r^9 )`]

[eqn: =8`]	[eqn: cdots cdots`]①

[eqn: a _{11} +a _{12} +` CDOTS `+a _{20} =24`]에서

[eqn: ar^10 +ar^11 + `cdots `+ar^19 = ar^10 (1+r+ `cdots`+r^9 )`]

[eqn: =24`]	[eqn: cdots cdots`]②

②[eqn: `div`]①을 하면

[eqn: r^10 =3`]

따라서 구하는 합은

[eqn: a _{21} +a _{22} +` CDOTS `+a _{30} = ar^20 + ar^21 + `cdots`+ ar^29`]

[eqn: =ar^20 (1+r+`cdots`+r^9 )`]

[eqn: =a (1+r+`cdots`+r^9 )timesr^20`]

[eqn: =8 times 3^2 `]

[eqn: =72`]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 `-2kx+3k=0]의 두 근을 [eqn: alpha_k], [eqn: beta_k]라 할 때, [eqn: sum_k=3^8 (alpha_k `^2 + beta_k`^2 )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 자연수이다.)

[정답] [eqn: 598`]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha_k + beta_k =2k,~~alpha_k beta_k =3k`]

[eqn: a_k `^2 + beta_k `^2 = (a_k + beta_k )^2 -2alpha_k beta_k`]

[eqn: =(2k)^2 -2 times 3k`]

[eqn: =4k^2 -6k`]

따라서 구하는 값은

[eqn: sum_k=3^8 (alpha_k `^2 + beta_k`^2 )]

[eqn: =sum_k=3^8 (4k `^2 -6k )]

[eqn: =sum_k=1^8 (4k `^2 -6k ) -sum_k=1^2 (4k `^2 -6k )]

[eqn: = left(4 times {8times9times17}over6 - 6 times {8times9}over2 right)` -left(4 times {2times3times5}over6 - 6 times {2times3}over2 right)`]

[eqn: =600-2`]

[eqn: =598`]

수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: a_1 = 1 over 2],  [eqn: a_n+1 = 1 over 2-a_n] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])
로 정의될 때, 다음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: a_n = n over n+1`]    (2) 풀이 참조

(1) [eqn: a_1 = 1 over 2],  [eqn: a_n+1 = 1 over 2-a_n]이므로

[eqn: a_2 = 1 over 2-a_1 = 1over{2- 1over2 } = 2over3`]

[eqn: a _{3} = {1} over {2-a _{2}} = {1} over {2- {2} over {3}} = {3} over {4} `]

[eqn: a _{4} = {1} over {2-a _{3}} = {1} over {2- {3} over {4}} = {4} over {5} `]

따라서 일반항은

[eqn: a_n = n over n+1`]

으로 추측할 수 있다.

(2) [eqn: a_n = n over n+1`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]①

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때

(좌변)[eqn: =a_1 = 1over2`]

(우변)[eqn: = 1over{1+1} = 1over2`]

따라서 [eqn: n=1`]일 때 ① 이 성립한다..

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 ① 이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k = k over k+1 `]

[eqn: n=k+1`]일 때

[eqn: a_k+1 = 1over{2-a_k} = 1 over{2- k over k+1}`]

[eqn: = k+1 over k+2`]

[eqn: = k+1 over {(k+1)+1`]

따라서 [eqn: n=k+1 `]일 때도 ① 이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ① 이 성립한다.

(1) [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4]를 구하고, 일반항 [eqn: a_n]을 추측해 보시오.

(2) (1)에서 추측한 일반항이 옳음을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

정답 및 풀이

				미래앤 수학1

정답 및 풀이